Последовательности комплексных чисел и пределы последовательностей

Пусть каждому натуральному числу п= 1,2,… поставлено в соответствие комплексное число z_n. Тогда говорят, что задана последовательность {г_г,}. Так как z_n = х_п 4- ij/_n, то задание последовательности {z_n} комплексных чисел равносильно заданию двух последовательностей {х_п} и {у_п} действительных чисел.

Комплексное число А называется пределом последовательности {г,}, если для любого положительного числа е найдется такой номер N (зависящий от е), что при всех п > N выполнено неравенство Iz_n — А<�е.

Выполнение этого условия означает, что для сколь угодно малой^{-окрестности} точки А все точки z_n с номерами п > N попадут в эту окрестность, а вне ее останется лишь конечное число точек z_n.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Наличие предела А у последовательности {г,} записывается в виде lim z_n = А или z_n -> А при п —> оо. Данное определение совп—юо падает с определением предела последовательности действительных чисел.

Теорема 4.1. Для того чтобы поыедователъностъ комплексных чисел z_n = х_п + iy_n имела предел, А = а + ib, необходимо и достаточно. чтобы последовательности (;г_п } и {у_п } имели предел, причем.

lirn х_п = a, lim у_п = b.

п—юо п—юо Доказательство. 1. Необходимость. Пусть дано, что.

Надо доказать равенства lim х_п = a, lim у_п = Ь. Заметим, что п—юо п—юо.

Отсюда следует, что.

Возьмем любое е > 0. Так как lim z_n = Л, то найдется такой но;

п—юо мер N, что при п > N выполнено неравенство z_n — А < е. Из (4.2) вытекает, что.

По определению предела последовательности действительных чисел получаем Пт х" = а, Пт у_п = 6, что и требовалось доказать.

П-ЮО п—юо.

2. Достаточность. Предположим теперь, что Пт х_и = а. Пт у_и =.

п—>оо п—юо'

= 6, и докажем, что lim z_n = А = о + гб. Возьмем любое г > 0. Так.

п—юо

как lim х_п = а, то найдется такой номер JVj, что при п > JVj выпол;

п—юо.

нено неравенство.

(мы пользуемся определением предела последовательности действительных чисел). Аналогично, из условия Пт у_п = Ь следует суще;

п—юо ствование такого номера N2, что при п > N2

Возьмем N = max{A^ri, No}- Тогда при п > N будут выполняться оба неравенства (4.3), (4.4). Из равенства (4.1) получим.

Итак, для любого е > 0 найдется такой номер JV, что при п > N выполнено неравенство г_п — .41 < е. Эго и означает, что lim z_n = А.

п—юо

Теорема 4.1 доказана.

Используя теорему 4.1 нетрудно показать, что сходящиеся последовательности комплексных чисел имеют те же свойства, что и сходящиеся последовательности действительных чисел:

Вывод формул (4.5) из теоремы 4.1 и из соответствующих свойств последовательностей действительных чисел предоставляем читателю.

Введенное выше понятие предела относилось к случаю, когда предел А ф оо. Рассмотрим теперь случай последовательности, стремящиеся к бесконечности, т. е. А = ос.

Предел последовательности {z_n} равен бесконечности (записывается в виде Пт z_n = 00), если для любого сколь угодно большого.

п-+ оо числа 7? > 0 найдется такой номер N (зависящий от /?), что при всех п > N выполняется неравенство z_n > R.

Понятия бесконечно удаленной точки и ее окрестности, введенные в конце $ 3, позволяют переформулировать это определение следующим образом:

lim z_n = оо, если для любой окрестности точки А = оо все точ;

п—*оо ки z_n с номерами п > N попадут в эту окрестность.

В таком виде определения конечного и бесконечного пределов аналогичны друг другу.

У п р, а ж п е н и е. Докажите справедливость следующих утверждений: