Мощность множеств. 
Теория множеств

Мощность множества в математике — это обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». Мощность множества определяется методом абстракции как-то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данном.

Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества, А поставлен в соответствие в силу какого бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества А, то говорят, что между множествами, А и В установлено взаимно однозначное соответствие [сокращённо: (1—1) — соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1—1) — соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1—1) — соответствие.

Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравномощных бесконечных множеств. Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счётным множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счётно, тогда как множество всех действительных чисел несчётно. Мощность множества всех действительных чисел называется мощностью континуума.