Аксиально-симметрические поля. 
Рождение материи при столкновении сингулярностей в потоках Риччи

Уравнения Эйнштейна имеют вид [18−20]:

(1).

Здесь — тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно. Ниже положим, что обусловлено малостью влияния этого параметра в задаче о столкновении двух сингулярностей типа черных дыр.

Решения уравнений Эйнштейна, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах [9−10, 14−19] и некоторых других (обзор публикаций дан, например, в [16, 19]). Метрика таких пространств, при некоторых предположениях может быть приведена к виду.

(2).

Здесь — функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна. Вычисляя компоненты тензора Эйнштейна в метрике (2) и полагая для вакуума.

.

находим уравнения поля:

(3).

Можно проверить, что не все уравнения (3) являются независимыми и что выполняются следующие два соотношения [19].

(4).

Следовательно, можно в качестве системы уравнений для определения двух функций выбрать, например, первое и четвертое уравнения (3), имеем.

(5).

Разрешая систему уравнений (5) приходим к определению статических полей гравитации в случае осевой симметрии. Отметим, что в нерелятивистском пределе потенциал, где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (5) находим оценку .

Рассмотрим решения системы уравнений (3) вида.

(6).

В частном случае, полагая в (6), приходим к выражению потенциалов, впервые полученных в работе [14].

Поскольку выражения (7) используются в численных расчетах, мы добавили ко второму потенциалу константу, с целью исключить особенность, возникающую при условии .

Отметим, что выражения (7) подверглись критике со стороны Эйнштейна и Розена [15], как лишенные физического смысла. Действительно, в нерелятивистском случае потенциал в (7) сводится к выражению, где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Но тогда этот потенциал сводится к потенциалу двух точечных масс, расположенных на оси симметрии системы в точках .

Поскольку точечные массы в метрике (2) не испытываю взаимного перемещения, хотя должны притягиваться согласно теории Ньютона, автор [14] делает ошибочный вывод, что не верна теория относительности Эйнштейна. В действительности, однако, в теории Ньютона существует статическое решение для двух тяготеющих масс, движущихся по круговым траекториям в синодической системе координат — неинерциальной системе отсчета вращающейся синхронно с периодом обращения тел [21−23].

Как известно, синодическая система координат применяется в постановках ограниченной задачи трех тел в классической механике [21−22], что может быть использовано в формулировке аналогичной задачи в общей теории относительности [23]. Различие же этих двух задач заключается в наличии потенциала, который не имеет аналогов в теории Ньютона, но играет роль аналогичную эффектам неинерциальной системы отсчета в классической механике.

Наконец, полагая в (12), получим.

(8).

Отметим, что выражение потенциала в форме (8) согласуется с выражением гравитационного потенциала, полученным в нерелятивистском приближении путем обработки данных для 50 галактик [24]. Поэтому выражения (6)-(8) представляют интерес в теории столкновения и слияния частиц, представленных сингулярностями поля в потоках Риччи, с излучением гравитационных волн [9−10].