Основные свойства. 
Бета и гамма-функции Эйлера

Перечислим основные свойства гамма-функции, которые получили при ее определении:

• 1) аналитична всюду, кроме целочисленных отрицательных точек и точки .
• 2) Г (z) удовлетворяет функциональному уравнению

или более общему.

3) При всех целых положительное значение совпадает с.

4) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вычет в полюсе равен.

5) Функция целая, следовательно, гамма-функция не обращается в .

Свойства выясняют общий характер графика функции действительного аргумента.

Максимумы и минимумы для отрицательных приближаются к при, это связано с тем, что по свойству вычет, т. е. коэффициент при главной части разложения в окрестности точки сильно убывает с ростом.

Ниже приведен рельеф гамма-функции т. е. поверхность с уравнением.

Ярко выраженные пики над точками соответствуют полюсам. Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля и равного аргумента, цифровые отметки на них указывают значения модуля и аргумента (последнее — в градусах).

Наряду с соотношением во многих вопросах полезно еще второе функциональное уравнение для гамма-функции:

6) Для всех комплексных :

(при обе части равенства обращаются в бесконечность).

Подставим в формулу, получим:

затем заменим в формуле на :

Перемножив полученные произведения, найдем:

Воспользуемся разложением в бесконечное произведение, получим искомую формулу.

Отметим некоторые следствия полученных формул.

Полагая в формуле, найдем, откуда.

Применив теперь формулу (14), в которой положено найдем:

Полагая в будем иметь:

откуда по получим формулу:

7) Для всех из правой полуплоскости.

где интегрирование производится по положительной полуоси (Эйлер).

Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл сходится для всех, для которых.

видим, что при сходимость интеграла (для любого) обеспечивается множителем, а при подынтегральная функция имеет порядок так что для интеграл будет сходиться.

Рассмотрим функцию.

Введем новое переменное интегрирования и применим формулу интегрирования по частям, находим:

(подынтегральная часть исчезает).

Повторим этот прием до тех пор, пока не исчезнет множитель, получим:

Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на.

тогда найдем:

Перейдем к пределу при, на основании формул получим:

так как при, то.

и следовательно формула доказана.

Для доказательства последнего соотношения мы воспользуемся неравенством.

Оценим разность между предполагаемым пределом и.

В силу сходимости интеграла для любого фиксированного найдется такой номер, что при.

Фиксируем этот номер и для любого представим в виде:

Для оценки первого слагаемого воспользуемся неравенством, получим:

откуда видно, что при достаточно больших (и фиксированном) это первое слагаемое по модулю не превосходит.

Для второго слагаемого имеем:

отбросили вычитаемое и увеличим интервал интегрирования, а затем воспользовались неравенством. Модуль третьего слагаемого при любом не превосходит и, следовательно, Соотношение доказано, а значит, доказана и формула.

эйлер функция интеграл гамма.

График модуля гамма-функции на комплексной плоскости.