Удар при наложении идеальных голономных связей

Пусть q = (?|, …, q") е Rⁿ — обобщенные координаты механической системы с идеальными стационарными голономными связями и М — ее конфигурационное многообразие. Допустим, что в некоторый момент времени 1₀ конфигурация системы такова, что.

/i (q) = 0…/_m(q) = 0, m < л. (5.1).

Функции f_s(q), s= 1…m, предполагаются дифференцируемыми, а векторы {v^/,}™ , — линейно независимыми. Когда условия (5.1) выполняются во все последующие моменты времени, будем говорить, что на систему накладываются дополнительные идеальные стационарные голономные связи, если возникающие при этом реакции удовлетворяют аксиоме идеальных связей.

Здесь R, — обобщенные реакции связей, 6q = (8^₁, … 8q_n) — возможные перемещения, принадлежащие касательному пространству к новому конфигурационному многообразию системы.

Согласно (5.2) вектор R = (/f|, … R") принадлежит ортогональному дополнению к T_qM_s и в момент удара представляется в виде.

где — неопределенные множители Лагранжа.

Освобождаясь от связей (5.1), заменим их реакциями (5.3) и представим уравнения удара согласно (2.4) в виде.

Вектор обобщенных скоростей системы после удара q + Aq должен принадлежать касательному пространству к новому конфигурационному многообразию T_qM_x. Это условие записывается в виде.

^v_?/j (4 + A4) = 0, j = 1,…да. (5.5).

Уравнения (5.4), (5.5) образуют полную систему уравнений относительно п+ да неизвестных Д^|,… Дq_n, Х|,… _т. Получим решение системы (5.4), (5.5) в явном виде, воспользовавшись матричной формой записи. Пусть q, Aq, X — матрицы-столбцы. Поскольку Т = ^(Aq, q), где А = ||а_и — положительно определенная матрица п х л, то уравнения (5.4), (5.5) записываются в виде.

где штрих означает транспонирование матрицы. Тогда.

П. В твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Ох_}, попадает пуля массы т и застревает в нем. Конфигурационное пространство системы до момента встречи пули с телом МS^l х ?³, а после того, как пуля застряла в теле, Л/, = S'. Координаты точки тела, в которую попадает пуля, рассматриваемая как материальная точка, представим в неподвижной системе координат ОхХ^с_г в виде (/costp, /sin.

<�р — угол поворота тела вокруг оси Ох_}. Если х,; х₂, х₃ — координаты пули, то в момент удара (наложение связей) /, = х, — /cosip = 0, /₂ = х₂ — /sincp = 0, /3 = х₃ — А = 0. Поскольку А = diag3, т, т, т}, где У₃ — момент инерции тела относительно оси Ох₃, то уравнения (5.6) примут вид

Не нарушая общности, положим <�р = 0 в момент удара. Тогда.

В рассматриваемом случае имеет место теорема Карно: потеря кинетической энергии при наложении на голономную систему со стационарными связями дополнительных стационарных связей равна кинетической энергии потерянных скоростей.

А Обозначим через Т =^(/lAq, Aq) кинетическую энергию потерянных скоростей и получим.

Из уравнений (5.6) следует.