Операторный метод расчета переходных процессов в линейных пассивных цепях при произвольных (непериодических) воздействиях

Применение преобразования Лапласа к переходным процессам, возникающим в линейных цепях при произвольных воздействиях, в подавляющем большинстве практических случаев позволяет алгебраизировать процесс решения. Степень сложности расчетов операторным методом зависит от вида входного воздействия, а также от свойств реагирующей цепи. В области изображений по Лапласу свойства линейной пассивной цени с позиции ее реакции на внешнее воздействие полностью определяются ее передаточной функцией К (р).

Понятие передаточной функции пассивной цепи К (р) и рекомендации, но ее нахождению

Рассмотрим случай, когда к зажимам линейного пассивного двухполюсника подключен внешний источник, задающий либо напряжение на входе двухполюсника м_вх(?)> либо ток Сохраняем прежнее общее обозначение для заданного внешнего воздействия —.

Соответствующую реакцию (ток одной из ветвей пассивного двухполюсника или напряжения на каком-либо его участке) обозначаем х_ВЬ1Х(?)Под передаточной функцией пассивной цепи понимается отношение изображения по Лапласу выходной величины (реакции) х_ВЬ1Х(?) к изображению внешнего воздействия x_BX(t) при нулевых начальных условиях.

Если обозначить изображения функций x_BX(t) и х_вых(?) соответственно Х_кх(р) и Х_вых(р), то согласно определению.

Поскольку изображения Х_вх(р) и Х_вых(р) сохраняют размерности оригиналов, то размерность передаточной функции равна отношению размерностей выходной и входной величин. Поэтому К (р) может иметь размерность сопротивления (Ом), проводимости (1/Ом = См) и быть безразмерной.

Методика расчета функции К (р). По заданной схеме пассивного двухполюсника функция К (р) определяется по его операторной модели (с нулевыми начальными условиями). Возможны два расчетных пути.

• 1. Предполагают известным изображение входного воздействия Х_вх(р); затем, пользуясь уравнениями Кирхгофа, находят изображение реакции Х_вых(р). При этом ввиду алгебраической формы операторных уравнений Кирхгофа можно пользоваться методами контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т. п.
• 2. Возможен обратный порядок расчета, предполагающий известным изображение реакции Х_вых(р). Соответствующее изображение внешнего воздействия Х_вх(р) определяют, применяя законы Ома и Кирхгофа.

Оба способа расчета проиллюстрированы в следующих примерах.

Пример 9.4. Определить передаточную функцию цепи, изображенной на рис. 9.7, а, считая входной величиной напряжение м_вх(?), а выходной величиной — ток в индуктивности /₂(t).

Рис. 9.7. К примеру 9.4 по расчету передаточной функции К (р) пассивной цепи:

а — заданная цепь; 6 — операторная модель при нулевых начальных условиях.

Решение

На рис. 9.7, б показана операторная модель заданного двухполюсника при нулевых начальных условиях. Считая известным изображение входного напряжения U_liX(p), найдем изображение тока в индуктивном элементе 1₂(Р)•.

Операторное входное сопротивление заданного двухполюсника относительно зажимов «а», «б» равно.

Пользуясь законом Ома, находим изображение тока на входе двухполюсника:

Напряжение U_вб(р) на параллельном участке (R₂, L) определяем по току /(/?).

Найденному напряжению U_liC>(p) соответствует изображение тока в индуктивной ветви и его сопротивлению:

Искомая передаточная функция К (р) равна отношению изображения тока.

1₂(р) к изображению входного напряжения t/_BX(p), т. е.

Она имеет размерность проводимости.

Пример 9.5. Получить в общем виде выражение передаточной функции К (р) цепи, изображенной на рис. 9.8, а_У при условии что воздействующим сигналом является ток на входе двухполюсника г_вх(?). Выходной реакцией принять напряжение на конденсаторе u_c(t).

Рис. 9.8. К примеру 9.5. Расчет передаточной функции К (р) = U_c(p)/I_HX(p):

а — заданная цепь; б — операторная модель при нулевых начальных условиях.

Решение

Предположим изображение реакции U_c(p) известным. Пользуясь операторной схемой (рис. 9.8, б), найдем соответствующее изображение входного тока IJp). Для этого записываем изображения токов в параллельных ветвях, выражая их через U_c(p):

Далее определяем изображение тока во входной ветви двухполюсника по первому закону Кирхгофа:

Для искомой передаточной функции из последнего соотношения получаем выражение.

Функция К (р) в рассмотренном случае имеет размерность сопротивления. Обратим внимание, что от величины R_{) функция К (р) не зависит.