Цели изучения линии числа. 
Идея расширения числовых множеств

Цели изучения линии числа:

• 1) осмысление числа как основного объекта математики, истории развития числа;
• 2) демонстрация идеи расширения числовых множеств, свойства числовых множеств;
• 3) иллюстрация идеи алгебраических структур, R — бесконечное упорядоченное, без начального и конечного элементов, всюду плотно, замкнуто относительно «+», «-», «*», «:», определен предел любой сходящейся последовательности действительных чисел (R непрерывно);
• 4) знакомство с системами счисления, теорией делимости;
• 5) воспитание вычислительной культуры (алгоритмы вычислений, рациональная техника, приближенные вычисления, использование средств вычислительной техники).

Вторая цель связана с появлением в математике новых числовых множеств. Как же в теории появляются новые числа?

Новые числа появляются как расширение некоторого множества чисел. При этом возможны два пути. Пусть есть множество А.

1) Множество В вводится как новое множество, затем отождествляется его некоторое подмножество с множеством А (устанавливается изоморфизм).

Этот путь отражен в учебниках А. П. Киселева.

2) А дополняется новыми числами — 1 А, получаем расширенное множество: В = A U 1 А, у Н. Я. Виленкина Q* (рациональные, включая 0) дополняется Q: Q = (У U Q .

Для расширения числовых множеств важное значение имеют следующие принципы.

• 1. Принцип перманентности. Лежит в основе новых определений, предполагает невозможность сохранять все свойства. Сводится к следующим требованиям:
  • а) А — подмножество В;
• 6) все старые числа являются и новыми, арифметические операции и отношения, имеющие смысл в А, определены и в В;
• в) правила действий над новыми числами и правила сравнения их между собой и со старыми числами определяются так, чтобы сохранялись основные законы арифметических действий;
• г) в множестве В выполнима операция, невыполнимая или не всегда выполнимая в А;
• д) В — минимальное расширение А, т. е. В является минимальным множеством, для которого выполнимы указанные требования.
• 2. Операторное истолкование числа. Один из компонентов действия как бы играет пассивную роль (первый), второй — активную.
• 3. Наличие синтаксического и семантического аспектов числа.

Синтаксический аспект числа выражается в форме записи, учитывает возможную неоднозначность записи чисел, например: в десятичной и двоичной системах, в римской нумерации — для натуральных чисел.

Семантический аспект связан:

• • с порядком — идея бесконечности и принцип индукции;
• • количеством — проявлением равномощиости множеств. Тогда сравнение выступает как включение множеств, сложение — как объединение;
• • измерениями — числовой мерой, величиной, характеристикой процесса измерения, важной для приложений.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

• • демонстрация необходимости введения новых чисел;
• • введение новых чисел;
• • введение сравнение (геометрическая интерпретация);
• • введение действий над числами;
• • законы действий над числами.

Сначала расширения числовых множеств происходят, пока множество не станет числовым полем.

Поле — это множество П, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции — умножение и сложение.

Эти обе операции ассоциативные и коммутативные, и связаны законом дистрибутивности.

Кроме того, в П существует нулевой элемент — для любого а: а + 0 = а и для каждого а противоположный ему: -а + а = 0.

Существует единичный элемент: а ^{:а а ¹ = 1.

Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, то такое множество называется числовым полем.

Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система натуральных чисел не является числовым полем; система целых чисел не числовое поле. Система рациональных чисел — наименьшее числовое поле, которое встречается в школьном курсе алгебры.

В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т. е. определены так, что применение любого действия к парс рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел. Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества.