Представление рациональных чисел цепными дробями

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел, называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть — рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

где неполным частным последовательных делений соответствуют остатки с условием b>>>…>>0, а соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система.

из которой последовательной заменой каждой из дробей и т. д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде:

=.

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что — целое число, а, …, — натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

Согласно последнему обозначению имеем.

Числа, , …, называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было .

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что .

Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при :

так что представление можно удлинить:

например, (2, 3, 1, 4, 2)=(2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Принимая условие, можно утверждать, что целая часть цепной дроби равна ее первому неполному частному. В самом деле:

если n=1, то если n=2, то.

; поэтому.

если n>2, то.

=,.

где >1, т.к.

Поэтому и здесь. Докажем то, что рациональное число однозначно представляется цепной дробью, если .

Пусть с условием,. Тогда, так что. Повторным сравнением целых частей получаем, а следовательно и так далее. Если, то в продолжении указанного процесса получим также. Если же, например, то получим, что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

Замечания:

В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент, например, .

При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример:, а так как, то .

Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

Пример: 5=(5); .