Статистические критерии. 
Атомная и ядерная физика: радиоактивность и ионизирующие излучения

Рассмотрим два важных непрерывных распределения, важных с точки зрения статистической обработки результатов измерений.

Распределение Стьюдента

Стьюдента распределение с/степенями свободы — распределение отношения T-X/Y независимых случайных величин X и Y, где X подчиняется нормальному распределению с математическим ожиданием ЕХ=о и дисперсией DX=i, a JY² имеет «Хи-квадрат» распределение с f степенями свободы.

f-Распределение Стьюдента (предложено Госсетом) — непрерывное одномерное распределение с одним параметром — количеством степеней свободы/. Обычно распределение Стьюдента появляется в задачах, связанных с оценкой математического ожидания нормально распределенных случайных величин.

Если имеется выборка величины X объёмом п из генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному распределению со средним ц, то величина.

подчиняется распределению t с числом степеней свободы (п-1).

Пусть Xi, …, Х_п 0=1,…, п) — независимые случайные величины (пчисло этих величин, область значенийоо<�Х<+оо), одинаково нормально распределенные с математическим ожиданием р и дисперсией о² (р² — случайная величина с распределением х² с /степенями свободы). Если X и а² независимы, то оценки для параметров р и о² имеют вид:

При этом оценка математического ожидания не равна в точности р, а лишь колеблется вокруг этой величины. Разность истинного математического ожидания и рассчитанного на основе выборки, поделённая на масштабирующий коэффициент, т. е. случайная величина.

при любых действительных значениях X и s > о подчиняется распределению Стьюдента с/= п степенями свободы (параметр формы f число степеней свободы, целое положительное число).

Плотность распределения (функция вероятности).

где Г — гамма-функция Эйлера,/=п-1.

Функция распределения Стьюдента не выражается в элементарных функциях. Её можно представить в виде.

IT.

где ^{2 1} — гипергеометрическая функция.

Формально распределение Стьюдента определено при любом положительном значении параметра формы/. Распределение Стыодента сходится к стандартному нормальному при /-«со (при f>30 распределение Стьюдента уже близко к нормальному распределению). Квадрат случайной величины, имеющей распределение Стьюдента, имеет распределение Фишера. f-Распределение связано с F-распределением, которое, в свою очередь, является частным случаем бета-распределения. На этом основан способ вычисления функции распределения Стыодента. Распределение Стыодента с одной степенью свободы (т.е. при/=1) есть стандартное («тяжёлохвостное») распределение Коши: <�р (х) = ~~~2-

Рис. 5. t- распределение Стьюдента: а — плотность распределения, б — интегральное распределение.

Рис. 6. Плотность распределения Стьюдента по сравнению с плотностью стандартного нормального распределения.

Распределение Стьюдента симметрично относительно среднего, равного нулю, его форма похожа на форму нормального распределения, но хвосты t- распределения медленнее стремятся к нулю, чем хвосты нормального распределения.

Распределение t симметрично относительно среднего, равного нулю; его дисперсия равна (н-1)/(п-з) Начальные моменты находят по формуле:

Математическое ожидание = мода = медиана = о; дисперсия = = Ч, ^{если п>}3 коэффициент асимметрии Bi=o, коэффициент эксцесса Р* =. где/>4.

Распределение Стьюдента применяют при оценивании математического ожидания, прогнозного значения и других характеристик с помощью доверительных интервалов, при проверке гипотез о значениях математических ожиданий (гипотеза о неизвестном среднем статистической выборки из нормального распределения) и др. Это распределение возникает в задаче проверки гипотезы о среднем значении (математическом ожидании) нормального распределения в случае неизвестной дисперсии.