Аналитическое представление конфигурации расчетной схемы сети

На рис. 2 показан пример расчетной схемы многоконтурной сети. Взаимная связь шести ветвей и четырех узлов этой схемы показана отдельно на рис. 3. Если каждой ветви схемы поставить в соответствие некоторое произвольно выбранное направление, то будет получена схема, которая называется направленным графом.

Направленный граф характеризует конфигурацию — геометрический образ схемы. Для его аналитического представления необходимо провести нумерацию ветвей и независимых контуров и выбрать направление обходов этих контуров, принимаемое за положительное. Направленный граф схемы может быть описан с помощью двух матриц, называющихся 1 и 2-й матрицами соединений, или инциденций. Первая матрица соединений М, называемая иногда матрицей соединений в узлах, представляет собой таблицу, каждая строка которой отвечает одному из узлов схемы, за исключением балансирующего, а каждый столбец — одной из ее ветвей. В клетках этой таблицы проставляется «0», если ветвь не связана с узлом, которому соответствует строка. Если же ветвь связана с узлом, то в клетке проставляется либо «+1», либо «—1», в зависимости от направления ветви в направленном графе схемы. Если данный узел является началом ветви, и ветвь выходит из рассматриваемого узла, то в матрице соединений (инциденций) ставится «+1». Если же ветвь входит в узел, который в этом случае считается концом ветви, то в соответствующей клетке первой матрицы соединений проставляется «—1».

Применительно к направленному графу, показанному на рис. 5−3, первая матрица соединений, составленная по сформулированному правилу при балансирующем узле а, имеет вид.

Вторая матрица соединений (инциденций) N, называемая также матрицей соединений в контурах, представляет собой таблицу, строки которой отвечают независимым контурам направленного графа схемы, а столбцы — его ветвям. Если та или иная ветвь входит в контур, то на пересечении соответствующих строки и столбца матрицы N ставится либо «+1», либо «—1» в зависимости от того, совпадает направление ветви с направлением обхода контура, или имеет противоположное ему направление. Если же ветвь не входит в контур, то в матрице N на пересечении строки и столбца, отвечающих рассматриваемым контуру и ветви, записывается «0». Это правило образования второй матрицы соединений позволяет для направленного графа схемы, изображенной на рис. 3, получить.

В схеме сети и ее направленном графе удобно выделить две группы ветвей. Первая из них образует так называемое дерево сети (графа), а вторая — ее хорды. К дереву относится наименьшая часть замкнутой схемы, ветви которой соединяют балансирующий узел со всеми другими узлами. В сложной схеме могут быть выделены несколько деревьев. На рис. 4, а, б, в показаны примеры деревьев, отвечающих схеме сети, приведенной на рис. 3. Причем ветви, входящие в дерево, отмечены сплошными линиями, а ветви, являющиеся хордами, — штриховыми. Для всех деревьев схемы характерно равенство числа ветвей (1…4) числу узлов (b d), без балансирующего узла, поэтому первая матрица соединений (инциденций) для дерева схемы М имеет квадратную форму.

При нумерации ветвей направленного графа целесообразно ветвям, входящим в дерево, присваивать последовательные номера, начиная с первого. Если в рассматриваемом примере направленного графа (см. рис. 3) в дерево включить ветви 1, 2 и 3 (рис. 4, а), то в первой матрице соединений первые три столбца будут отвечать дереву схемы, а последующие — ее хордам.

Нетрудно видеть, что в этом случае матрица М может быть разбита на две подматрицы М и М

В сложной матрице М при таком подходе подматрица М характеризует связь ветвей дерева схемы с ее узлами, а подматрица М —взаимную связь между хордами и узлами схемы.