Интегралы, зависящие от параметра
Теорема 3 (интегрирование по параметру) Пусть функция непрерывна на прямоугольнике. В частности, если и,, ?, то собственный интеграл, зависящий от параметра примет вид. Собственным интегралом, зависящим от параметра, называется интеграл вида. Тогда интеграл является интегрируемой функцией и справедливо равенство. Пусть на множестве? определены функции и, причем. И пусть на множестве. Тогда… Читать ещё >
Интегралы, зависящие от параметра (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Собственные интегралы, зависящие от параметра
Определение собственного интеграла, зависящего от параметра
Пусть на множестве? определены функции и, причем. И пусть на множестве.
определена функция, которая при любом значении параметра интегрируема по Риману. Тогда интеграл представляет собой функцию параметра, определенную на множестве .
Собственным интегралом, зависящим от параметра, называется интеграл вида.
.
переменная называется параметром.
В частности, если и, , ?,, то собственный интеграл, зависящий от параметра примет вид.
.
Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра
Пусть ?, функции и непрерывны на. Рассмотрим область, образованную графиками функций, и прямыми ,.
.
которая является областью определения функции .
Теорема 1 (непрерывность) Пусть
- 1) функции и непрерывны на отрезке, причем ,
- 2) функция непрерывна на множестве .
Тогда интеграл есть непрерывная на функция и справедлива формула.
Теорема 2 (дифференцирование по параметру) Пусть 1) функции и непрерывны на прямоугольнике и; 2) функции, непрерывно-дифференцируемы на отрезке. Тогда интеграл является дифференцируемой функцией на и справедлива формула.
Теорема 3 (интегрирование по параметру) Пусть функция непрерывна на прямоугольнике .
Тогда интеграл является интегрируемой функцией и справедливо равенство.
