Тренды и тренд-сезонные модели

Рассмотрим теперь общий принцип построения прогнозных интервалов для трендов и тренд-сезонных моделей.

В общем случае методика построения интервалов похожа на описанную выше для простейших методов прогнозирования: нужно получить точечный прогноз по модели и рассчитать условную дисперсию. Если с точечным прогнозом проблем не возникает, то вот с расчетом дисперсии в случае с нелинейными моделями (оценки которых найдены численными методами) могут возникнуть сложности. Прогнозные интервалы для таких моделей лучше рассчитать какимнибудь непараметрическим методом.

В случае, если оценки тренда найдены МНК, расчет условной дисперсии становится простой задачей, известной еще из курса эконометрики. Рассмотрим ее кратко на примере линейного тренда.

Модель тренда в параграфе 5.3 с учетом ошибки на шаге t может быть записана в виде.

(9.14).

Условная дисперсия (9.14) тогда может быть выведена следующим образом:

(9.15).

Значение t в (9.15) неслучайно, поэтому, казалось бы, условная дисперсия должна быть равна дисперсии ошибки. Однако это не так. Коэффициенты тренда были найдены по какой-то выборке. Стало быть, добавление в эту выборку дополнительных наблюдений будет приводить к изменению коэффициентов, т. е. на самом деле коэффициенты а0 и а1 имеют какую-то дисперсию относительно «среднего значения» (оценку которого как раз и дает МНК). Предполагать, что коэффициенты независимы друг от друга, нет никаких оснований, а вот независимость ошибки от параметров модели — вполне естественное допущение, поэтому дисперсия суммы в (9.15) будет раскрыта следующим образом:

(9.16).

Чтобы рассчитать дисперсию коэффициентов и ковариацию между ними, нужно оценить ковариационно-вариационную матрицу коэффициентов, которая вычисляется аналогично тому, как мы это делали в параграфе 4.3. Для расчета ковариационно-вариационной матрицы коэффициентов нужно воспользоваться формулой (4.36). В нашем случае с линейным трендом эта матрица будет иметь следующий вид^[1]:

(9.17).

Подставляя значения из (9.17) в (9.16), мы получим наиболее статистически корректную оценку условной дисперсии уt.

В связи с тем, что расчет условной дисперсии осуществлен на основе регрессии, для построения прогнозного интервала на несколько шагов вперед в формуле (9.16) достаточно всего лишь изменить t на t + h:

(9.18).

Существует более простой вариант построения прогнозных интервалов для моделей трендов. Выводится он из предположения о том, что условную дисперсию можно заменить дисперсией ошибки. В таком случае прогнозный интерват будет иметь вид.

(9.19).

Рассмотрим пример ряда № 25 из базы М3. На рис. 9.6 показаны интервальные прогнозы, построенные по формулам (9.18) и (9.19).

Рис. 9.6. Ряд данных № 25 (сплошная линия с точками), точечный (сплошная линия) и интервальный (пунктирные линии) прогнозы по нему, полученные по линейному тренду.

Как видим, интервалы, построенные по формуле (9.18), оказались значительно уже интервалов, рассчитанных на основе (9.19). Вызвано это как раз достаточно грубым предположением о том, что условную дисперсию модели можно заменить дисперсией ошибки. Но рис. 9.6 так же видно, что из-за неточного точечного прогноза фактические значения оказались лежащими за пределами обоих интервалов, хотя и более широкий интервал (9.19) оказался ближе к фактическим значениям, чем статистически корректный интервал (9.18).

Методика построения прогнозных интервалов для остальных моделей трендов аналогична и дает примерно такие же результаты. В случае с тренд-сезонными моделями к значению по тренду прибавляются (либо умножаются) еще и сезонные коэффициенты. В самой методике построения ничего не меняется. Стоит только обратить внимание на то, что при расчете дисперсии ошибок по тренд-сезонным моделям оценивать сами ошибки нужно с учетом как тренда, так и сезонности. Так, например, для модели с аддитивной сезонностью ошибки будут рассчитываться по формуле (6.8): , где  — расчетное значение по тренду на наблюдении t.

• [1] Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: учебник. 6-е изд., перераб. и доп. М.: Дело, 2004. С. 71.