Понятие функции нескольких переменных

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 14. Пусть каждой точке М из множества точек {Л/} евклидова пространства Е^т по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число и из числового множества U. Тогда будем говорить, что на тожестве {Л/} задана функция и = /(Л/); множества {Л/} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции /(Л/).

Как и в случае функции одной переменной, область определения функции нескольких переменных либо задается априори (может быть в силу каких-либо ограничений конкретной задачи), либо выводится из формулы функциональной зависимости /, в которой должна соблюдаться корректность выполнения соответствующих математических операций.

Функция одной переменной у = /(х) изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {М_п} функции z = /(*, у) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 14.2), и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности.

Рис. 14.2.

Найдем области определения следующих функций.

Пример 1. * = я² + у² — поверхность в евклидовом пространстве Е³. Областью определения этой функции является все множество точек плоскости Оху. Область значений этой функции — промежуток [0, (c)о]. Данная функция представляет собой параболоид (рис. 14.3): в вертикальных сечениях этой поверхности плоскостями Oxz и Oyz получаются соответственно параболы z = х² и г = у².

Область определения данной функции — все множество точек евклидова пространства ?² или плоскости Оху. Эта функция является так называемым эллиптическим конусом с вершиной в начале координат 0(0, 0, 0); приведенная формула суммирует две функции, задающие две его симметричные относительно плоскости Оху части:

Пример 2. z^{2 = :}Ц-+~ — поверхность в евклидовом пространстве ?³. а' Ь'

Рис. 14.3.

Поскольку выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, областью определения этой функции является замкнутый эллипсоид с полуосями а, b и с:

Пример 4. и — /yJi-2x+2y-z.

В область определения этой функции входят все точки евклидова пространства ?³, удовлетворяющие неравенству 1 — 2х + 2у — z > 0, т. е. открытое полупространство над плоскостью z = - 2х + 2у + 1.

Данная функция определена на множестве точек евклидова пространства Е^т. Так как квадратный корень формулы задания функции стоит в знаменателе, то областью определения этой функции является открытый ///-мерный шар радиуса R = 1.

Некоторые виды функций нескольких переменных

Приведем наиболее часто встречающиеся в различных приложениях виды функций нескольких переменных.

1. Функция вида где я, а₂, а_т, b — постоянные числа, называется линейной функцией или.

гиперплоскостью в евклидовом пространстве Е^{т +} '.

2. Функция вида.

где а~ — постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных *," *2' -«'V.

3. Одним из базовых понятий экономической теории является функция полезности, выражающая полезность приобретения т разновидностей приобретенных товаров. Болес всего она употрсбима в следующих формах:

логарифмическая функция

функция постоянной эластичности.

4. Функция Кобба — Дугласа — производственная функция, показывающая объем выпуска продукции Q при затратах капитала К и трудовых ресурсов L. Для случая двух переменных она имеет вид:

где А > 0 — параметр производительности конкретно взятой технологии;

О < а < I —доля капитала в выпуске.