Определение двойных чисел

Назовём двойные числа и сопряжёнными, если они имеют вид.

и .

Сумма и произведение сопряжённых двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа, знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине из вещественных чисел a и b, называется модулем числа и обозначается через. Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство характеризует вещественные числа, а равенство — чисто мнимые числа .

Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами.

(12).

Отсюда следует, что и здесь деление на возможно лишь в тех случаях, когда. Двойные числа, модуль которых равен нулю, называются делителями нуля (заметим, что). В некоторых случаях оказывается удобным считать частные, и числами новой природы; при этом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введя дополнительно произведения и новых чисел и на всевозможные вещественные числа c и частные и. Правила действия над символами, ,, и определяются формулами (5) и рядом соотношений, родственных (6), например:

(13).

и т. д. Естественно также положить.

, ,, (13а) что обеспечит выполнение для расширенного указанным образом множества двойных чисел равенства и всех соотношений (3).

Двойные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть — модуль двойного числа; далее.

.

Из определения модуля следует, что и что большая (по абсолютной величине) из дробей и положительна. Отсюда вытекает, что.

или, , (14).

где есть некоторое число (определённое формулами (14)), а и — гиперболический косинус и гиперболический синус аргумента .

Таким образом, имеем.

или. (15).

величина называется аргументом двойного числа z и обозначается через Arg z.

Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что.

(16).

Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения — сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:

;

. (17).

з формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n:

.

при n нечётном, при n чётном;