Ряд Тейлора. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Приложение теоремы Вейерштрасса к степенным рядам.

Мы уже видели, что всякий степенной ряд.

радиус сходимости которого R 0, изображает функцию f (z), аналитическую внутри круга сходимости, и что производная /' (z) этой функции может быть получена путём почленного дифференцирования ряда (гл. II, § 4, п. 6). Очевидно, что все эти результаты могут быть получены так же, как простое следствие теоремы Вейерштрасса. В самом деле, с одной стороны, мы знаем, что ряд (10) сходится равномерно во всяком круге | z — а | ^ г (/•< /?), целиком внутреннем к кругу сходимости (гл. II, § 3, п. 6); с другой стороны, все члены этого ряда суть функции, аналитические во всей плоскости комп ексного переменного z. Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (§ 1) сумма ряда (10) должна быть функцией, аналитической внутри круга сходимости. Применяя вторую часть теоремы, мы видим, что степенной ряд (10) можно поч/енно дифференцировать сколько угодно раз.

В результате мы получаем степенные ряды: и вообще.

радиусы сходимости которых R, т. е. круги их сходимости будут совпадать с кругом сходимости данного ряда (10). В самом деле, радиус сходимости производного ряда (И) не* может быть меньше/?, но он в то же время не может быть больше /?, так как в противном случае радиус сходимости первоначального ряда (10), получаемого почленным интегрированием производного ряда (И), был бы тоже больше /?.

• 1) См., например, Bieberbach, Lehrbuch der FunkFonentheorie.
• 2) См., например, G. Julia, Lemons sur les fonctions uniformes etc.
• 3) J. P r i w a 1 о f f, Comptes Rendus, 1924, январь.
• 1

Таким образом радиус сходимости производного ряда равен R. В частности, полагая в рядах (10), (11), (12) и 13 z=a_y получим:

Формулы (14) носят название формул Тейлора, а степенной ряд (10), коэффициенты которого с_р определены по этим формулам, называется рядом Тейлора.

Таким образом, мы видим, что всякий степенной ряд с положительным радиусом сходимости есть ряд Тейлора.

Кроме формул (14) для коэффициентов с_р степенного ряда (10) можно дать другие выражения. Обозначая через С произвольную окружность с центром в точке z = a_y лежащую внутри круга сходимости ряда (10), и применяя формулу Коши, найдём:

откуда дифференцированием по параметру z получим:

(гл. IV, § 3, п. 3).

В формулах (15) и (16) z обозначает любую точку, лежащую внутри С; полагая в эти* формулах в частности z = a_} найдём:^[1]

Отсюда для коэффициентов с_р степенного ряда мы получаем па основании формул (14) следующие интегральные формулы:

• [1] Разложение аналитической функции в степенной ряд. В предыдущем пункте мы видели, что сумма всякого степенного ряда (10)с положительным радиусом сходимости есть функция, аналитическаявнутри его круга сходимости. Докажем теперь обратное предложение: функция, аналитическая внутри некоторого круга, разлагаетсяв степенной ряд. Пусть f (z) еспь функция, аналитическая внутри некоторой окружности К с центром в точке а, радиуса R. Обозначим через z произвольную точку внутри окружности К и опишем из точки а, как центра, окружность С радиуса р, p<^R, так, чтобы точка z находилась внутриэтой окружности (фиг. 84). Так как согласно условию функция f (z) есть аналитическая внутриокружности С, включая точки самой окружности, то её значение