Многомерное нормальное распределение

Математической моделью, на которой основываются методы многомерного статистического анализа (в том числе и методы факторного и компонентного анализа), является многомерное нормальное распределение.

Из центральной предельной теоремы следует, что предельным распределением одномерных независимых случайных величин является одномерный нормальный закон.

Из обобщённой центральной предельной теоремы получаем, что предельным распределением в случае нескольких измерений является многомерное нормальное распределение.

В настоящее время многомерные методы, основанные на нормальном распределении, нашли широкое распространение при изучении различных процессов в экономике.

Среди математических методов многомерного анализа выделяют:

1. Корреляция. При изучении корреляции рассматриваются различные коэффициенты корреляции.

Выборочные коэффициенты корреляции используются для оценки соответствующих параметров распределения.

Частный коэффициент корреляции измеряет зависимость между случайными величинами, когда действие других коррелированных случайных величин исключено.

При помощи множественного коэффициента корреляции распространяется понятие коэффициента корреляции на измерение зависимости между одной случайной величиной и множеством случайных величин.

2. Аналоги одномерных статистических методов в многомерном анализе.

Многие проблемы, решаемые в многомерном статистическом анализе, когда изучаются многомерные совокупности, имеют свои аналоги при изучении одномерных совокупностей. Эти проблемы представлены в таблице 1.

ТаблицаАналоги одномерных статистических методов

Для этих проблем выбор системы координат связан с линейным преобразованием переменных.

3. Проблемы системы координат.

В ряде случаев удачный выбор новой системы координат может наиболее экономным способом выявить некоторые важные для исследователя свойства многомерной случайной совокупности.

Примером может служить выявление главных компонент, т. е. отыскание такой нормализованной линейной комбинации случайных величин, чтобы ее дисперсия была максимальной или минимальной. Это равноценно повороту осей, который приводит ковариационную матрицу к диагональной форме. Другой пример — нахождение канонических корреляций. Для решения подобных задач требуется определение характеристических корней различных систем линейных алгебраических уравнений.

4. Проблемы классификации.

Это разбиение множества случайных величин на подмножества. Возникает важный вопрос проверки гипотезы о независимости подмножеств. Факторный анализ, метод главных компонент и кластерный анализ обычно используют в задачах многомерной классификации.

5. Зависимость наблюдений.

Если в экономических исследованиях мы занимаемся анализом временных рядов, то сталкиваемся с наблюдениями над рядами случайных величин, последовательными во времени. Наблюдения в данный момент времени могут зависеть от ранее произведенных наблюдений. Это требует, например, изучения внутрирядной корреляции.

Поскольку в качестве основной статистической модели выступает многомерное нормальное распределение, стоит остановится более подробно на этом распределении, которое полностью распределяется своей квадратичной формой, а последняя зависит от вектора математических ожиданий и ковариационной матрицы. Эта зависимость четко определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Если даны вектор м и положительно определенная матрица У, то существует такая многомерная нормальная плотность распределения вероятностей:

Nn (х / м, У) =, (1).

что математическое ожидание случайного вектора х с этой плотностью распределения есть м и ковариационная матрица есть У.

Обычно плотность распределения вероятностей обозначают так, как записано слева в равенстве (1), а многомерный нормальный закон распределения обозначают N (м, У). В данном распределении интересует структура ковариационной матрицы и ее связь с корреляционной матрицей. Это можно сделать в общем виде для случайного вектора n-го порядка. Однако удобней обратиться к простейшему многомерному распределению — двумерному.

При рассмотрении двумерного нормального распределения можно легко убедиться в том, что коэффициенты корреляции и дисперсии случайных величин являются основными числовыми характеристиками наряду с математическими ожиданиями. Если конечное число случайных величин n=2, то роль дисперсий выполняет ковариационная (корреляционная) матрица. Элементы этой матрицы получаются из экспериментальных или статистических данных и являются статистическими величинами, требующими своей оценки. В методе главных компонент потребуется также оценка и весовых коэффициентов модели.