Нормальные напряжения при изгибе

Исследование напряженного состояния стержней при изгибе проще всего начать с простейшего случая — чистого изгиба, т. е. частного случая изгиба, при котором во всех сечениях стержня поперечная сила равна нулю. Чистый изгиб может иметь место лишь в том случае, когда собственный вес горизонтально расположенного стержня настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Усилия в любом сечении стержня при чистом изгибе сводятся к паре сил, плоскость действия которой перпендикулярна к плоскости сечения.

Напряжения при чистом изгибе могут быть определены при нижеследующих допущениях.

• 1. Справедлива гипотеза плоских сечений (см. рис. 10.2): поперечные сечения стержня в процессе деформации остаются плоскими и нормальными к его оси.
• 2. Продольные волокна стержня в процессе деформации не надавливают друг на друга, т. е. в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения.
• 3. Любое поперечное сечение стержня (см. рис. 10.2) можно разбить на две зоны — растянутую и сжатую; границей зон является нейтральная линия сечения (нейтральная ось), в точках которой нормальные напряжения равны нулю.

Рис. 10.18

Рассмотрим бесконечно малый элемент стержня длиной dr, подверженный действию чистого изгиба (рис. 10.18, а). На основании гипотезы илоских сечений линии ас и bd элемента, бывшие до деформации параллельными, после изгиба, оставаясь плоскими, повернутся относительно друг друга и образуют угол (10, вершина которого будет находиться в точке С, называемой центром кривизны нейтрального волокна NN.

В данном элементе выделим по высоте сечения волокно АВ на расстоянии у от нейтрального волокна NN. Это волокно после деформации превратится в дугу Л_{В_{. Отрезок нейтрального волокна 0_Х0₂ превратится в дугу 0_{0₂, но не изменит своей длины, тогда как волокно АВ получит удлинение:

до деформации АВ = О_х0₂ = рсЮ, после деформации А_ХВ_Х = (р + г/)с10, где р — радиус кривизны нейтрального волокна.

Абсолютное удлинение волокна АВ равно

а относительное удлинение волокна.

Согласно принятым выше допущениям волокно подвергается осевому растяжению, и на основании закона Гука (5.7) можно записать:

Из (10.5) видно, что по высоте сечения нормальные напряжения изменяются по линейному закону: они прямо пропорциональны расстоянию до нейтральной оси и обратно пропорциональны радиусу кривизны, т. е. напряжения тем больше, чем меньше радиус кривизны.

Получив закон распределения нормальных напряжений по высоте сечения, установим их зависимость от изгибающего момента в сечении. Для этого выделим в поперечном сечении стержня элементарную площадку d/1, соответствующую волокну АВ (рис. 10.18, б). Элементарная сила, действующая на эту площадку, равна ad Л.

Равнодействующая всех нормальных напряжений в поперечном сечении на основании уравнений равновесия равна нулю:

Так как Е / р * 0, то J*/dA = 0. Этот интеграл является статическим.

А

моментом площади относительно оси z (см. формулу (8.5)) и может быть равен нулю лишь тогда, когда ось z проходит через центр тяжести сечения. Следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

Установив положение нейтральной оси, нетрудно найти и величину напряжения в любой точке сечения.

Момент, создаваемый элементарной силой cxL4 (см. рис. 10.18, б) относительно ОСИ 2,.

Из условия равновесия сумма всех элементарных моментов по всей площади сечения должна быть равна изгибающему моменту:

В выражении (10.6) у²бА = 1_г — момент инерции сечения (см. фор;

А

мулы (8.7)) относительно оси 2. Тогда выражение (10.6) можно переписать в виде.

Величина 1/р в выражении (10.7) называется кривизной изогнутой оси стержня, а EI_Z — жесткостью стержня при изгибе.

Таким образом, кривизна стержня прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна его жесткости при изгибе. Подставив выражение кривизны (10.7) в формулу (10.5), получим.

С помощью формулы (10.8) можно определить нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения, расположенной от нейтральной оси z на расстоянии у. Эта формула справедлива для поперечного сечения любой формы, но при условии, что оно симметрично относительно силовой плоскости, т. е. оси у, которая, как и ось 2, должна проходить через центр тяжести сечения.

Наибольшее растягивающее (ст_тах) и наибольшее по абсолютной величине сжимающее напряжение (a_min) действуют в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 10.18, в):

Величины W =y^L и W = -^— это моменты сопротивления (см. фор- h₂ h_x

мулы (8.24)) сечения растяжению и сжатию, поэтому.

Характер эпюры напряжений, соответствующий (10.9), показан на рис. 10.18, б.

Если нейтральная ось z является осью симметрии сечения, то /г, = /г₂ = = 0,5h и, следовательно, W_zp = W_zc = W_Z -21 / h, так как различать их нет необходимости. Следовательно, в случае сечения, симметричного относительно нейтральной оси,.