Волны расширения-сжатия и сдвига в изотропной упругой среде

При исследовании распространения воли в упругой среде можно воспользоваться уравнениями теории упругости в перемещениях. Эти уравнения носят название уравнений Ляме. Они воплощают в себе статические, геометрические и физические свойства объекта. При отсутствии объемных сил они имеют вид [25].

л² л² л²

объемное расширение; V² =—- + —- + —-! и, и, w — перемещения.

дх² ду² дг²

Чтобы из уравнений (7.1) получить уравнения движения при малых перемещениях, достаточно добавить в них инерционные члены:

Здесь р — плотность, т. е. масса на единицу объема (кг/м³).

(и'.

Если ввести вектор перемещений u = v, то уравнения (7.2) запишут;

w

ся одним векторным уравнением:

Подставим это значение в уравнение (7.3):

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Если предположить, что при производимых волнами деформациях объемное расширение равно нулю, т. е. деформации состоят лишь из сдвига и вращения, то уравнения примут вид.

— Г⁰ Г72.

Следовательно, условие, что деформации не сопровождаются вращениями, можно представить в форме.

1акже находятся значения -— ««и — = w.

ду дг

В результате подстановки этих значений получим дифференциальные уравнения колебаний в следующем виде:

Волны, определяемые этими уравнениями, называются эквиволюминальными волнами, или волнами сдвига.

Ниже приводится случай, когда деформации, производимые волнами, не сопровождаются вращениями. Вращение любого элемента среды определяется формулами.

Волны, определяемые этими уравнениями, называются безвихревыми волнами, или волнами расширения-сжатия.

В общем случае распространения волн в упругой среде результат получается наложением волн сдвига и волн расширения-сжатия.

Все уравнения (7.4) и (7.6) можно представить в общей форме:

где для волн расширения-сжатия.

а для волн сдвига.

Во всех уравнениях vj1 = и, v, w. Как будет показано далее, с, и с₂ представляют собой скорости распространения волн.