Решение уравнения.
Численные методы.
Основы научных вычислений
Решение уравнения f (x) = 0 — часто встречающаяся проблема. На первый взгляд она выглядит довольно простой, но точное ее решение возможно, только если /(, х) есть полином степени п < 4. Под точным решением понимается некоторая процедура вычисления корня через параметры уравнения (например, для уравнения ах2 + Ьх + с = 0). Основой для вычисления корня уравнения является итерационный процесс, или… Читать ещё >
Решение уравнения. Численные методы. Основы научных вычислений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
т = о Список обозначений.
х | Точное значение корня = 0). |
I | Интервал, содержащий единственный корень. |
Ч | Приближенное значение корня. |
?р | Требуемая точность вычисления приближенного значения корня. |
Производные функции f (x) | |
? и. *. I. Я. *. | Ошибка приближенного значения корня. |
Решение уравнения f (x) = 0 — часто встречающаяся проблема. На первый взгляд она выглядит довольно простой, но точное ее решение возможно, только если /(,х) есть полином степени п < 4. Под точным решением понимается некоторая процедура вычисления корня через параметры уравнения (например, для уравнения ах2 + Ьх + с = 0).
Каждая нелинейная задача имеет свои особенности, поэтому численное решение уравнения f (pc) = 0 невозможно без предварительного анализа функции f (x). Например, дополнительные трудности возникают, когда график функции в точке корня касается оси х, как показано на рис. 2.1. Такие корни трудно обнаружить, потому что график функции f (x) не пересекает ось х. Такое поведение характерно для функций, которые имеют кратные корни. Корень уравнения х* имеет кратность т, если существует некоторая непрерывная функция g'(x) такая, что.
- 1) g (x*)*0;
- 2) для каждого х f (x) = (х — x*)mg (x).
Если т = 1, тогда х* есть простой корень уравнения f (x) = 0. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда f (x) вещест;
Рис. 2.1. Ситуация когда f (x*) =f'(x*) = О венная однозначная функция вещественного аргумента и уравнение f (x) = 0 имеет простой корень.
Основой для вычисления корня уравнения является итерационный процесс, или, другими словами, процесс последовательных приближений. Итерационный процесс имеет четыре стадии:
- 1) найдем интервал, который содержит единственный корень (локализация корня);
- 2) выберем начальное приближение
- 3) используя какую-либо итерационную процедуру k раз, получим набор приближений хначиная с х0;
- 4) определим, насколько близко каждое приближение
к точному значению корня. Если некоторое приближение находится в е/;-окрестности х*у тогда итерационный процесс завершен.
Последний пункт будет выполнен, только если.
т.е. приближения х^ сходятся кх*. Поэтому основное внимание мы будем уделять условиям, которые обеспечивают сходимость итерационного процесса.