Дополнительные сведения о распределениях

В общем курсе теории вероятностей рассматривался вопрос о законах распределения наиболее распространенных простейших случайных величин. Здесь будут изучаться некоторые другие более сложные распределения, широко используемые в математической статистике. Кроме непосредственных вычислений будем при этом пользоваться методом характеристических функций.

Изложение темы будет представлено в основном в виде задач с решениями с приведением сведений по изучаемым распределениям.

Гамма-распределение

Плотность гамма-распределения имеет вид.

+оо где, а Д > 0 — const и Г (а) = J x^aie~^xdx.

о Свойства Г (а):

• 1) Г (а + 1) = схГ (а); Г (0) = 1; Г (1) = 1;
• 2) при целом, а Г (а + 1) = а!

Запись X ~ Г_{а >} означает, что СВ X имеет плотность распределения f (x; а, X).

Задача 4.19. Показать, что /(.г, а, X) является плотностью распределения.

Решение

f (x] а, X) > 0. Остается проверить условие нормировки:

Задача 4.20. Найти характеристическую функцию гамма-распределения.

Решение

Задача 4.21. Случайные величины Х_х и Х₂ независимы; X, ~ Г_а]Л, Х₂ ~ Г_а2д. Найти закон распределения СВ Z = X, + Х₂.

Решение

Решать задачу будем методом характеристических функций:

откуда следует, что СВ X, + Х₂ = Z имеет гамма-распределение с плотностью f (x; X, а, + а₂) (обозначим это распределение через Г_аД, где, а = = а, + а₂).

Задача 4.22. Доказать, что если СВ X распределена по Г_аД, a СВ Y = = XX, то СВ Yраспределена по Г_1Д.

Решение (доказательство).

х>0,Х>0, т. е. fy (x) =/(дг, а, 1).

Задача 4.23. Показать, что экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения, и выписать характеристическую функцию для экспоненциального распределения.

Решение

— характеристическая функция экспоненциального распределения.

Найдем моменты гамма-распределения. Воспользуемся известной связью характеристической функции с моментами СВ X: РМХ = g⁽ⁿ0). Тогда если СВ АТ ~ Г_аД, то.

Итак, MX = 7, DX= -₉.

X х²

Для экспоненциального распределения (X — В (Х)) получим отсюда моменты при, а = 1:

П

Задача 4.24. Найти распределение СВ у² = ZiXf, где СВ расиреде;

i=1.

лена по нормальному закону Л^г(0, 1) и все X, независимы, i = 1,п. Решение

Найдем сначала распределение СВ у? = X?, т.с.

Отсюда следует, что плотность распределения у" есть частный вид плотности гамма-распрсдслсния, так как.

₂ ( 111 —¹ Характеристическая функция СВ у, есть g =(1−2it)².

Тогда по свойству характеристической функции имеем.

Найдем моменты распределения у²:

Задача 4.25. Найти предельное распределение для СВ.

и СВ уI, определенной в задаче 4.24, при п —¹• °°.

Решение

П

И ⁼ ХХ/, где X, распределены по А'(0, 1) и все X, независимые, еле- 1=1.

доватсльно, СВ у тоже одинаково распределены, независимы и по центральной предельной теореме (теорема Леви) распределение СВ у² _{= сходится М}р_{И и} _" оо к нормальному закону N (0, 1).

а 2 п а 4и Имеем Му" = - = — = п; DXy~ = — = — = 2п, т. е. распределение A. z A, z.

СВ y" _n =2k_J! при п —* оо сходится к Д'(0, 1).

/2п

Задача 4.26. СВ X распределена по закону Л^г(0, сг). Найти распре;

П

деление СВ Z = ZjX², где {X,} — независимые СВ, и ее моменты.

;=1.

Решение

X,

СВ — распределена по нормальному закону Л^{, г}(0, 1), СВ U = а.

= Е «5 ~ xl тогда YjXf = иа¹ = Z. i=lо» i=i.

Найдем характеристическую функцию СВ Z — g-J^t) — и ее моменты MZ и DZ:

Из сравнения с характеристической функцией СВ, распределенной (и у° а ,.

по Г_а, 1 — —, следует, что СВ Z- Г_а«_п/2Л={/(2 ист»; DZ =

{ X } х

а.

= = 2ист².

X²