Кинематика движения твердого тела

Рассмотрим вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Для этого построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось z совпала с осью вращения (рис. 2.6). Пусть Р есть произвольная точка твердого тела. Координаты радиус-вектора г этой точки можно представить в виде.

где R — расстояние от точки Р до оси вращения, <�р — угол между плоскостью, проходящей через ось г и точку Р, и координатной плоскостью xz. При вращении тела угол р будет изменяться со временем, а вектор скорости точки Р согласно формулам (2.18) будет иметь координаты.

Углы р и р' для двух точек твердого тела отличаются друг от друга на некоторую постоянную величину р₀:

где.

Поэтому производные от функций p'(t) и <p (t) по времени t одинаковы. Это означает, что все точки твердого тела имеют одну и ту же угловую скорость.

Введем вектор угловой скорости при помощи формулы.

где к — единичный вектор, направленный вдоль оси вращения. Из этого определения следует, что направление вектора ы связано с направлением вращения тела правилом правого винта. В самом деле, при увеличении угла.

производная р = и этой функции положительна и вектор (2.45) будет сонаправлен вектору к, т. е. направлен вверх (рис. 2.6). При вращении тела в противоположном направлении функция.

убывает, ее производная отрицательна (w < 0) и вектор угловой скорости (2.45) будет направлен вниз.

Рис. 2.6. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Из определения (2.45) следует, что в случае, когда ось z совпадает с осью вращения тела, координаты вектора Q угловой скорости будут.

При помощи формулы (1.58) или (1.59) нетрудно убедиться в том, что векторное произведение вектора угловой скорости ы на радиус-вектор г точки Р с координатами (2.43).

равно вектору скорости, координаты которого даются формулами (2.44):

Это соотношение называется формулой Эйлера в честь швейцарского ученого Леонарда Эйлера (1707 — 1783).

Вектор бесконечно малого перемещения произвольной точки Р твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси в соответствии с формулами (2.14) и (2.55) будет равен.

Рассмотрим теперь произвольное движение абсолютно твердого тела в пространстве. Выделим две какие-нибудь точки Л и В, жестко связанные с телом. Мгновенные скорости v_y и vb этих точек связаны соотношением.

которое также называют формулой Эйлера.

Скорости разных точек твердого тела в общем случае различны, но вращение тела в заданный момент времени характеризуется одним вектором и угловой скорости. Любую прямую линию, параллельную вектору угловой скорости, можно назвать осью вращения. Поступательным называется движение абсолютно твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении угловая скорость равна нулю и все точки тела имеют одну и ту же мгновенную линейную скорость. Формула (2.49) допускает следующую интерпретацию. Произвольное движение твердого тела можно рассматривать как совокупность поступательного и вращательного движений. Первое слагаемое va в правой части этой формулы в такой интерпретации описывает поступательное движение тела, а последнее — вращение тела вокруг оси, проходящей через точку А.

Движение твердого тела называется плоским, когда траектория произвольной точки тела является плоской линией, т. е. когда все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером плоского движения может служить качение цилиндра по плоскости (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Мгновенная ось вращения.

Если цилиндр катится без скольжения, то мгновенные скорости точек соприкосновения его с плоскостью будут равны нулю. Прямая, которую образуют эти точки, называется мгновенной осью вращения. При плоском движении твердого тела в его пределах или вне него всегда можно найти прямую линию, мгновенные скорости точек которой равны нулю, т. е. мгновенную ось вращения. Положение мгновенной оси вращения относительно выбранной системы отсчета и относительно самого тела может изменяться со временем. В примере с катящимся по плоскости цилиндром мгновенная ось вращения перемещается по плоскости и изменяет свое положение на поверхности цилиндра.