В инженерной практике часто встречаются балки, лежащие на упругом основании: шпалы железнодорожного пути, ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин и т. д. Сюда же можно отнести и рельсы, у которых число опор велико, а расстояние между ними мало по сравнению с длиной рельсов. Расчет балки на упругом основании не может быть выполнен с помощью уравнений равновесия. Эта задача является статически неопределимой. Величина реакции в каждой точке зависит от прогиба балки, а прогиб балки в свою очередь зависит от реакции со стороны основания.
Для решения задачи примем гипотезу о пропорциональной зависимости между реакцией и осадкой основания, впервые предложенную академиком Н. И. Фуссом и использованную Е. Винклером для расчета балок на упругом основании. Согласно модели Винклера реальное основание как бы заменяется бесконечным числом упругих, не связанных между собой пружин (рис. 7.19). Реакция R в каждой точке основания балки будет пропорциональна прогибу и в этой точке, равному осадке основания: R = kbu, где b — ширина балки; к — коэффициент жесткости упругого основания, называемый также коэффициентом постели. Экспериментально он определяется путем вдавливания в грунт жесткого штампа. Так, для песчаного грунта, если к = 1—5 МН/м'1 — песок рыхлый; к = 10—100 МН/м3 — песок утрамбованный; к < 250 — песок слежавшийся.
Рис. 7.19. Балка на упругом основании (модель Винклера).
С учетом внешней нагрузки и реакции упругого основания суммарная интенсивность распределенной нагрузки в некоторой точке балки р = q— R = q — kbu.
Для получения дифференциального уравнения балки на упругом основании используем последнее из уравнений (7.14): EJzulw = р = q—kbu. Откуда EJmlw+kbu = q или.
Решая уравнение (7.16), находим перемещения балки м, по перемещениям определяем угол поворота сечения д = и', изгибающий.
и" и'"
момент М =—— и поперечную силу Q = ——. Вот, собственно гово- Е J ^ Е J^
ря, и вся теория расчета балок на упругом основании.