Векторы напряжений и деформаций

Так как тензоры напряжений и деформаций симметричные, то для задания напряженно-деформированного состояния в точке тела из девяти компонент каждого тензора достаточно определить только шесть. Эти шесть компонент тензоров напряжений и деформаций можно представить в виде вектора (столбца из шести чисел):

где с 1 = с _х, ?₂ = е_у, е₃ = z_v €₄ = Уду, с₅ ⁼ Ууг" Ч ⁼ Y&-

Тензоры напряжений и деформаций связывают физические векторы, подчиняющиеся законам и преобразованиям тензорной алгебры. Векторы напряжений и деформаций нс имеют физического смысла, так как обозначения их компонент выбраны произвольно. Порядок компонент может быть и другим. Все алгоритмы программ расчетов напряженно-деформированного состояния тел методом конечных элементов используют понятия векторов напряжений и деформаций.

Запишем в упорядоченном виде дифференциальные уравнения равновесия Навье (20.11).

Сумма слагаемых в каждой строчке таблицы представляет собой одно уравнение равновесия. Условно представим функцию дифференцирования напряжений в виде матрицы и перепишем предыдущее выражение в матричном виде.

В этом выражении.

D — матричный дифференциальный оператор, имеющий смысл операции дифференцирования, выполняемой по правилам перемножения матриц.

Запишем теперь дифференциальные уравнения равновесия в векторной и матричной форме:

Здесь слагаемое D6 означает не умножение матрицы на вектор, а операцию дифференцирования, выполняемую по правилам перемножения матриц.

Повторим проделанные выше действия с геометрическими уравнениями (20.3) и (20.4). Запишем эти уравнения в упорядоченном виде.

Сумма слагаемых в каждой строчке таблицы представляет собой одно геометрическое уравнение.

Как и в случае с уравнениями равновесия представим условно операцию дифференцирования в виде произведения матриц:

Сравнивая выражения (20.14) и (20.17), можно заметить, что в них использован один и тот же оператор дифференцирования, но в выражении (20.17) он транспонирован, т. е. столбцы стали рядами.

Запишем геометрические уравнения в векторной и в матричной форме:

Использование одного и того же дифференциального матричного оператора в геометрических уравнениях и в уравнениях равновесия называется статико-геометрической аналогией.