Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение.

ах² + bх + с = 0, а? 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение.

а² х² + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х =; тогда приходим к уравнению.

у² + by + ас = 0,.

равносильного данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = и х₁ =. При этом способе коэффициент, а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х² — 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение.

у² — 11y +30 = 0.

Согласно теореме Виета.

Ответ: 2,5;3.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

А. Пусть дано квадратное уравнение.

ах² + bх + с = 0, а? 0.

1. Если, а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .

Доказательство. Разделим обе части уравнения на, а? 0, получим приведенное квадратное уравнение.

х² + х + = 0.

Согласно теореме Виета.

По условию а + b + с = 0, откуда b = — а — с. Значит,.

Получаем х₁ = 1, х₂ =, что и требовалось доказать.

2. Если, а — b + с = 0, или b = а + с, то х1 = - 1, х2 = - .

Доказательство. По теореме Виета По условию а — b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,.

т.е. х₁ = - 1 и х₂ =, что и требовалось доказать.

1. Решим уравнение 345×2 — 137х — 208 = 0.

Решение.

Так как, а + b + с = 0 (345 — 137 — 208 = 0), то х₁ = 1, х₂ = = .

Ответ: 1; - .

2. Решим уравнение 132×2 + 247х + 115 = 0.

Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 — 247 +115=0), то х₁= - 1, х₂= ;

Ответ: — 1; ;

Б. Если второй коэффициент b = 2k — четное число, то формулу корней х_1,2 =.

можно записать в виде х_1,2 =.

Решим уравнение 3х² — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k² — ac = (- 7)² — 3 · 16 = 49 — 48 = 1, D>0, два различных корня;

х =.

Ответ: 2; .

В. Приведенное уравнение.

x² + px + q = 0.

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней х_1,2 =.

принимает вид:

х_1,2 = или х_1,2 = - (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p — четное число.

1. Решим уравнение х2 — 14х — 15 = 0.

Решение. Имеем: х_1,2 = 7±= 7±= 7±8.

Ответ: х₁ = 15, х₂ = - 1 .