Однородные уравнения. 
Дифференциальные уравнения

Определение. Уравнение (1) называется однородным, если может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т. е.

. (2).

Таким образом, однородное уравнение имеет вид:

(3).

Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл:

. (4).

Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что. Рассмотрим тот случай, когда. Здесь имеются две возможности.

а) Тогда и уравнение (3) принимает вид: .

Это уравнение с разделяющимися переменными.

и здесь никаких преобразований делать не нужно.

б) уравнение удовлетворяется лишь при определенных значениях. В этом случае могут быть потеряны решения. Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.

Пример. Решить уравнение.

.

Решение. Уравнение однородное. Полагаем .

.

Если, то. Отсюда .

— общий интеграл.

Может быть потеряно решение или .

Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.

Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.

Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем (3).

. (6).

(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам; выбирая и такими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргумента в (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.