Теорема о движении центра масс

Ранее мы рассмотрели динамику движения материальной точки. Теперь наша задача состоит в том, чтобы определить, как будет двигаться тело под действием произвольно приложенных сил.

Если в результате действия на тело всех сил оно движется поступательно, то расчет движения производится так же, как и для материальной точки, предполагая, что все силы приложены к центру масс тела.

Если в результате действия всех сил тело движется сложным образом, и все точки тела имеют разные скорости и ускорения, то в этом случае движение тела можно представить как сумму поступательного и вращательного движений. При этом за поступательное движение тела принимают движение некоторой, причем любой, точки, жестко связанной с самим телом. Эту точку называют полюсом, и затем рассматривают вращательное движение тела вокруг этого полюса.

Если нам заранее ничего не известно о движении тела, то какую точку надо принять за полюс? Ведь без этого мы не сможем представить движение тела как сумму поступательного и вращательного движений.

Давайте ответим на этот вопрос.

Допустим, под действием некоторых внешних сил F_{i тело массой М, вращаясь, перемещается в пространстве. Мысленно разобьем все тело на материальные точки mi. Затем воспользуемся выражением (18.2), отражающим связь между изменением импульса системы материальных точек и суммой внешних сил, действующих на эту систему.}

. (19.1).

Сумма представляет собой сумму всех действующих на тело сил, и если они известны, то ее вычисление не представляет трудностей. Что же представляет собой сумма? Эта сумма уже входила в выражение (18.7) для ускорения центра масс. Следовательно, сумма равна и, подставив это значение суммы в уравнение (19.1), получим:

. (19.2).

Итак, под действием произвольно приложенных сил тело сложным образом меняет свое положение в пространстве. При этом кинематические параметры всех точек тела отличаются друг от друга, но движение одной точки можно описать сразу. Эта точка — центр инерции!

Центр инерции тела движется так, как двигалась бы материальная точка массой М, равной массе твердого тела, под действием всех приложенных к телу сил.

Этот результат называют теоремой о движении центра масс.

Поэтому чаще всего центр масс принимают за полюс, а траекторию его движения считают траекторией поступательного движения тела.