Нормальные системы
Рассмотрим общую систему п обыкновенных дифференциальных уравнений порядков т{, т2,… ту.
гДе /и /ъ InG —> Y, GQRxYmi+m2+— +тп, уи у2, …, уп е У (R или С). При этом G называется областью задания, или расширенным фазовым пространством. Все у и все их производные до порядка на единицу меньше порядка старших производных включительно называются фазовыми переменными, или переменными состояния, или переменными положения. Возможны два крайних случая общей системы.
1. Случай п = 1. Тогда система (2.1) принимает вид.
и называется обыкновенным дифференциальным уравнением порядка т. 2. Случай т, = т2 = … = тп = 1. Тогда система (2.1) принимает вид.
и называется п-мерной нормальной системой.
Определение 2.1. Набор п функций cpl5 <�р2,… ф": / —" Y, где / с R, У = Е или С, называется решением системы (2.1), если подстановка ух — (р,(?),…, Уп = Фи (0> tel, обращает уравнения системы (2.1) в тождества.
Определение 2.2. Подмножество расширенного фазового пространства
называется интегральной кривой. Это гомеоморфный (взаимно однозначный и взаимно непрерывный) образ отрезка I. Кривая у — гладкая, потому что в любой точке существует производная по t от каждой координаты.
Определение 2.3. Решение системы называется максимально продолженным (полным, непродолжимым), если оно не является сужением на меньший интервал какого-либо решения этой системы.
Обычно понятие эквивалентности систем вводится следующим определением.
Определение 2.4. Две системы называются эквивалентными, если любое решение первой из них является решением второй, и наоборот.
Любая общая система сводится к нормальной простой заменой всех фазовых переменных новыми неизвестными. В связи с этим будем использовать следующее определение эквивалентности систем.
Определение 2.4'. Две системы назовем эквивалентными, если у них совпадают области определения и одинаковы интегральные кривые.
Ясно, что две системы, эквивалентные согласно второму определению, будут тем более эквивалентны и в соответствии с первым (более общим) определением.
