Интерполяционные формулы для функций двух переменных

На практике возникает необходимость построения интерполяционных формул для функций нескольких переменных. Для простоты ограничимся функцией двух переменных z=f (x, у). Пусть ее значения заданы на множестве равноотстоящих узлов (xi, yi) (i, j = 0,1,2). Введем обозначения.

, .

Построим многочлен, аналогичный многочлену Ньютона для случая одной переменной. Здесь нужно вычислять разности двух видов — по направлениям х и у. Эти частные разности первого порядка определяются формулами Запишем также выражения для частных разностей второго порядка:

Интерполяционный многочлен второй степени можно записать в виде.

Можно также построить линейную интерполяционную формулу. Геометрически это означает, что нужно найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, (i = 1, 2, 3), где zi = f (xi, yi). Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение плоскости, проходящей через три точки, можно записать в виде.

Отсюда можно найти:

(2.58).

Пример. Вычислить приближенное значение функции z = f (x, y) в точке (1,0), если известны ее значения.

z1 = f(0,0) = 0, z2 = f (2,4) = -3, z3= f(4, -2) = 1.

Воспользуемся формулой линейной интерполяции (2.58). Вычислим значения определителей.

Таким образом,.

или.

Это и есть формула линейной интерполяции для данного примера. При х = 1, у =0 получим z?-0.1.