Различные понятия сходимости случайных величин и связь между ними

Рассмотрим вероятностное пространство (Q, Р),.

и пусть на нем определена последовательность случайных величин i;₂> •••.

Определение. Последовательность случайных величин {с,"} называется сходящейся к случайной величине ?, с вероятностью 1 (почти наверное, почти всюду), если.

Замечание 4.2. Множество {со: %"(со) —* ^(со)} измеримо, так как.

Определение. Последовательность случайных величин {?"} называется сходящейся к случайной величине ?, по вероятности, если для произвольного в > О.

Определение. Последовательность случайных величин {%"} называется сходящейся к случайной величине ?, по распределению, если F_n(x) —? F (x), в каждой точке непрерывности функции распределения.

Определение. Последовательность случайных величин {?,"} называется сходящейся в среднем порядке, а > 0 к случайной величине если.

(в среднем = в среднем порядка 1, в среднем квадратичном = = в среднем порядка 2).

Теорема 4.5. Для того чтобы последовательность случайных величин {?"} сходилась к случайной величине ?, с вероятностью 1, необходимо и достаточно, чтобы для всякого в > О.

Доказаны.

поэтому Р{со: |?_я(ю) — ?(со)|} = 1. Равносильно.

Обозначим.

Очевидно, A_{m v} а Л_{ш+1 D} поэтому равносильно при любом Р

или или.

что, очевидно, равносильно утверждению для любого е > О.

Теорема 4.6.

• 1. Из сходимости последовательности случайных величин к случайной величине с вероятностью 1 следует сходимость случайных величин {%"} к случайной величине по вероятности.
• 2. Из сходимости последовательности случайных величин {^"} к случайной величине ^ в среднем порядка, а следует сходимость случайных величин {%"} к случайной величине 2; по вероятности.
• 3. Из сходимости последовательности случайных величин {%"} к случайной величине 2; но вероятности следует сходимость случайных величин {2;,₇} к случайной величине 2; но распределению.

Доказательство.

1. Так как для всякого г > О.

Пусть х — точка непрерывности F (x) = P (q < х),

Так как по условию.

то lim Р{%" < д:} < Р{% < х + е} и, вспомнив, что х — точка непре;

л—-оо рывности F (x), получим окончательно.

Аналогичные рассуждения приводят к неравенству т. е.

и так далее.

Теорема 4.7. Всякая сходящаяся по вероятности последовательность случайных величин содержит подпоследовательность, сходящуюся с вероятностью 1.

Доказательство. Пусть е" i = 1,2,… — последовательность положительных чисел, монотонно стремящихся к нулю, и пусть положительные числа 6|, 8₂,… таковы, что ?5* < °°.

Выберем П так, чтобы Р{со: |?_Wl(co) — ^(со)| > Sy) < 8j, далее выберем п₂ > П так, чтобы Р{со: |^_И2(со) — ^(со)| > е₂} < 6₂.

Вообще выберем щ > щ_у так, чтобы.

Покажем, что построенная последовательность случайных величин {?_я} сходится к ?, с вероятностью 1. Для произвольного 8 > О найдется такое /₀> что е, — < в, г > /₀,.

поэтому на основании теоремы 4.5 отсюда вытекает сходимость с вероятностью 1 последовательности к Теорема 4.8. Пусть F_n(x)_y F (x), п = 1,2,… — распределение случайных величин Ъ₎.

Последовательность случайных величин ?>_п сходится к ^ по распределению тогда и только тогда, когда для всякой ограниченной непрерывной функции f (x) выполняется.

Доказательство. Необходимость. Пусть f (x) — ограниченная непрерывная функция. Обозначим.

Для произвольного в > 0 выберем а, b таким образом, чтобы F (a) < е, 1 — F (b) < е.

Отрезок [а, Ь] разобьем точками а = а^ < а < … < a_s = Ь_У где я, — точка непрерывности F (x) и |/(.г) -/(я,)| < 8 при я, <�х< а_|+1.

Замечание 4.3. Такое разбиение возможно потому, что, во-первых,/^) — равномерно непрерывны на [я, 6], во-вторых, множество точек разрыва F (x) не более чем счетно.

Обозначим

Так как F_n(aj) —? Дя,), то.

Оценим.

Аналогично получим для достаточно больших п.

(Последнее неравенство следует из того, что F_n(a) —? F (a); F"(b) — F (b).)

Рассмотрим

отсюда следует справедливость утверждения.

Достаточность. Пусть. г₀ — точка непрерывности F (x). Для произвольного е > 0 существует 5 > 0 такое, что |F (.r) — F (.r₀)| < е при |х — XqI < 5.

Построим функции/](х) Иf>(x) (рис. 4.1).

Откуда.

т.е.

или.

Было уже показано, что между введенными понятиями сходимости верны следующие соотношения:

Приведем примеры, показывающие, что других связей такого тина, без дополнительных предложений, не существует.

Пример 4.5. %.

Пусть Q = {0 < со < 1}.

Рассмотрим следующую последовательность случайных величин:

Перенумеровав соответствующим образом последовательность случайных величин Yjf получим последовательность случайных величин х" (т.е. Х = У^⁰, х₂ = У₂^(|), х₃ = У₃⁽¹⁾ и т. д.). Последовательность случайных величин х_п(со) сходится, но вероятности к дг (со) = 0. Действительно, для произвольных п существуют номера k (n) и i (n), для которых Y?° = х_п и.

р.

Следовательно, х_п => 0.

С другой стороны, для произвольного со gQ числовая последовательность {дг"(со)} не имеет предела. В самом деле, так как для произвольного п найдутся номера щ > п₂ и п₂ > п такие, что х_П](со) = 0, х"₂((о) = 1, то для числовой последовательности (jc"(co)} не выполняется критерий Коши. Отсюда следует, что Р{со: х_п((й) 0} = 1,.

и. к.

т.е. д:_и((о) ^ 0.

Пример 4.6. Покажем, что последовательность вндах_и(со) сходится к 0 в среднем квадратическом. Действительно,.

Из (4.2) и (4.3) следует, что из сходимости в среднем не следует сходимость почти наверное.

п. и.. в среднем квадратическом Пример 4.7. => ?, J* => 5;

Рассмотрим следующую последовательность случайных величин:

п. II.

Покажем, что х"(со) => 0.

В самом деле, для произвольного со е (0, 1] существует 1.

щ = —— + 1 такое, что xJco) = 0 для п > щ. Следовательно,.

н и поэтому.

Таким образом, (4.17) доказано. Покажем, что Действительно, что и требовалось доказать.