*. Разрешимость уравнений в радикалах

Понятие квадратичного расширения поля появилось у нас как инструмент для установления неразрешимости некоторых задач на построение циркулем и линейкой. Вместе с тем это понятие можно связать с решением уравнений в квадратных радикалах в смысле следующего определения.

Определение 4.13. Пусть дан многочлен Дх) с коэффициентами из некоторого поля Р. Говорят, что уравнение Дх) = 0 разрешимо в квадратных радикалах, если его корни выражаются через коэффициенты с помощью конечного числа операций +, —: и F-

Например, всякое квадратное уравнение разрешимо в квадратных радикалах.

Ясно, что уравнение Дх) = 0 разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда его корни принадлежат некоторому квадратичному расширению поля коэффициентов Р. Это позволяет теорему 4.12 переформулировать следующим образом.

Теорема 4.12'. Уравнение х³ + а₂х² + арс + а₀ = 0 с рациональными коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда многочлен Дх) = х³ + арх² + а_гх + а₀ имеет рациональный корень.

Дадим естественное обобщение понятия разрешимости уравнения в квадратных радикалах.

Определение 4.14. Пусть дан многочлен/(х) с коэффициентами из некоторого поля Р. Говорят, что уравнение Дх) = 0 разрешимо в радикалах, если его корни выражаются через коэффициенты с помощью операций +,: и операций извлечения корней любой степени.

Исторический экскурс Проблема разрешимости уравнений в радикалах являлась предметом исследований с давних времен, пожалуй, с момента появления известных ныне каждому школьнику формул корней квадратного уравнения. Трудами итальянских математиков дель Ферро, Тарталья и Кардано были найдены формулы для решения уравнений третьей степени (известная ныне формула Кардано). Ученик Кардано Феррари показал, как решение уравнения четвертой степени сводится к решению уравнения третьей степени. На уравнении пятой степени проблема застопорилась. Заметим, что основная теорема алгебры устанавливает существование комплексного корня любого многочлена с комплексными коэффициентами. Но выражается ли этот корень через коэффициенты с помощью арифметических операции и операций извлечения корней? Проблема о разрешимости уравнений в радикалах оставалась открытой вплоть до 1824 г. когда 22-летний норвежский математик Н. X. Абель установил, что уравнения пятой степени и выше не разрешимы в радикалах. Замечательный французский математик Э. Галуа установил критерий разрешимости уравнения в радикалах, о чем поведал миру накануне роковой дуэли, унесшей жизнь молодого гения, когда ему исполнился 21 год. Его идеи легли в основу целого направления в алгебре, известного ныне как теория Галуа.