Схема испытаний Бернулли. 
Приближенные формулы

Формула Бернулли.

Пусть проводится п независимых испытаний в одинаковых условиях, в результате которых может произойти событие, А с одной и той же вероятностью Р (А) = р и не произойти с вероятностью q = 1 — р.

Наступление события А называется успехом, а ненаступление — неуспехом. В этом случае говорят, что имеют место повторные независимые испытания. Такая схема называется последовательностью испытаний Бернулли или схемой Бернулли.

Пусть X — число успехов в п испытаниях Бернулли. Тогда вероятность события {X = т} (ровно т успехов в п испытаниях) вычисляется по формуле Бернулли.

п!

где СО¹ —число сочетании из п по т.

" (n-m)!-m!

Указанную формулу легко получить, если разбить событие, состоящее в наступлении события А ровно т раз, на частные случаи, отличающиеся совокупностью номеров тех испытаний, в которых наступает событие А.

Всего таких частных случаев СЦ¹ и все они равновозможные и несовместны. Для того чтобы найти вероятность каждого такого частного случая, нужно по теореме умножения вероятностей для п независимых событий перемножить т раз вероятность р (что, А наступит) и (п-т) раз вероятность q (чтоА не наступит).

Пример 5.51.

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,05. Какова вероятность того, что среди купленных 10 билетов окажется два выигрышных?

Решение. Требуется найти вероятность двух успехов из 10 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р = 0,05. По формуле Бернулли (5.1) эта вероятность равна

Можно показать, что в п испытаниях Бернулли существует целое число in, которому соответствует максимальное значение вероятности. Это число называется наивероятнейшим числом успехов.

Наивероятнейшее число успехов m удовлетворяет двойному неравенству.

или.

Может оказаться так, что в полученном интервале содержится несколько целых чисел. Тогда все они являются наивероятнейшими и имеют одинаковую вероятность — наибольшую среди всех значений т.

Пример 5.52.

Всхожесть семян данного растения имеет вероятность 0,8. Найти наиболее вероятное число проросших семян из пяти посеянных.

Решение. По условию задачи п = 5, р = 0,8, следовательно, q = 1 — 0,8 = 0,2. Подставляя эти данные в формулу (5.2), получим.

Поэтому in = 4. ?

Пример 5.53.

Курсант школы МВД выстрелил 10 раз по мишени, вероятность попадания в которую при отдельном выстреле равна 0,4 и не зависит от результатов предыдущих выстрелов. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

Решение. По условию задачи п = 10, р = 0,4, q = 1 -р = 0,6. Подставляем эти значения в неравенство (5.2).

Тогда.

Вычислим вероятность этого числа попаданий