Метод моментов. 
Численные методы решения интегральных уравнений

Метод моментов является одной из реализаций метода Ритца. Пусть — первые координатных функций, — натянутое на них подпространство и — оператор проектирования из. Применение метода Ритца (формулы (7) — (11)) равносильно отысканию характеристических чисел не оператора, а конечномерного оператора. Метод моментов состоит в том, что за координатные берутся функции где функция выбирается произвольно; предполагается только, что при выбранном функции линейно независимы. Вычисления по методу моментов производятся так: собственные числа оператора получаются как корни уравнения.

(13).

коэффициенты которого в свою очередь находятся из системы Метод моментов применим и к несимметричным ядрам.

Найдем приближенные значения характеристических чисел ядра Положим и Имеем:

Для постоянных получаем систему которая дает:

Уравнение (13) имеет вид его корни:

откуда Значения характеристических чисел, верные с точностью до выписанных знаков, суть.

Метод Келлога

Пусть — симметричное ядро, которое для простоты будем считать положительно определенным, и — произвольная функция класса По методу Келлога строятся последовательность функций и последовательность чисел Пусть суть ортонормированные собственные функции ядра, a — соответствующие характеристические числа. Пусть функция ортогональна к собственным функциям, но не ортогональна к собственной функции. Тогда последовательность (15) имеет пределом e характеристическое число, а последовательность функций имеет пределом некоторую линейную комбинацию собственных функций, принадлежащих характеристическому числу. В частности, если функция не ортогональна к собственной функции, то предел последовательности (15) равен.

К тому же пределу, что и последовательность (15), стремится последовательность В предположении, что, получаем две приближенные формулы для наименьшего характеристического числа:

и приближенную формулу для первой собственной функции:

Формула (16) дает значение с избытком. Заметим еще, что формулой (17) можно пользоваться при достаточно больших. Если данное ядро симметричное, но не положительно определенное, то формулы (16) и (17) дают приближенные значения наименьшей абсолютной величины характеристических чисел данного ядра.

Вычислим по методу Келлога наименьшее характеристическое число ядра Возьмем и. Заметим, что отсюда легко получается Отсюда Полагая в формуле (16) последовательно = 2 и = 3, получим два приближенных значения с избытком: