Свободное кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля

Теперь применим мембранную аналогию к случаю кручения бруса с поперечным сечением в форме замкнутого тонкостенного профиля, например, коробчатого сечения (рис. 62).

Касательные напряжения распределены по толщине профиля равномерно. Причем они там больше, где тоньше стенка. Это видно из того, что пленка имеет один угол наклона по толщине, но угол больше там, где тоньше стенка.

Поток касательных напряжений (т-8) по длине контура не изменяется. Выразим крутящий момент через напряжения г.

где А' — площадь, ограниченная средней линией контура.

Рис. 62. Распределение касательных напряжений в тонкостенном замкнутом профиле.

Условие прочности для элемента в наиболее тонкой части сечения принимает вид.

Угол закрутки для стержня с замкнутым профилем:

где S- длина стороны профиля.

Рассмотрим примеры расчетов на прочность при кручении.

Пример 16. Стальной ступенчатый брус круглого поперечного сечения жестко защемлен и нагружен, как показано на рис. 63, а. Построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закрутки поперечных сечений. Проверить прочность бруса при [т] = 60 МПа.

Известно, что m = 1 кНм;а = 400 мм; размеры поперечного сечения на участках: <4 = 60 мм; <4/ = 50 мм; dm = 50 мм; d/y= 80 мм; dy= 80 мм.

Решение Эпюру крутящих моментов ЭТ строим, начиная от свободного (левого) конца, что позволяет не определять реактивный момент в заделке. Проведя произвольное сечение 1−1 на участке АВ и составляя для оставленной части (рис. 63, а) уравнение равновесия 2 М_0г = 0, получаем М_г = т.

Согласно принятому правилу знаков, считаем момент в сечении 7−7 положительным. Крутящий момент сохраняет постоянное значение во всех сечениях участка АВ и ВС. Для остальных участков находим крутящие моменты как алгебраические суммы внешних моментов, приложенных по одну сторону (в нашем случае — по левую) от сечения. Отсеченные части отдельно не изображаем. Эпюра крутящих моментов представлена на рис. 63, б. Вообще следует отметить, что построение эпюры крутящих моментов совершенно аналогично построению эпюры продольных сил.

Для нахождения опасного сечения строим эпюру максимальных касательных напряжений, пользуясь формулой.

Для участка АВ определяем:

Аналогично определяем т_тах в поперечных сечениях остальных участков бруса.

Ординаты эпюры т_тах (рис. 63, в) откладываем в ту же сторону, что и соответствующие ординаты эпюры ЭТ. Знак касательного напряжения при расчете на прочность никакой роли не играет, и принятое направление ординат эпюры условно. Опасными оказались поперечные сечения на участках ВС и CD, то есть не те сечения, в которых крутящий момент максимален. Условие прочности т_тах < [г] выполняется. Очевидно, что материал бруса использован нерационально; даже в опасном сечении максимальное напряжение на 32% ниже допускаемого.

Эпюру углов закрутки строим, начиная от защемленного конца. Ординаты этой эпюры в выбранном масштабе дают значения углов закручивания соответствующих поперечных сечений бруса. Эпюра строится аналогично эпюре линейных перемещений Д/.

Рис. 63. Кручение стержня: а) расчетная схема; б) эпюра крутящих моментов; в) эпюра касательных напряжений; г) эпюра углов закрутки В пределах каждого из участков бруса эпюра линейна, поэтому достаточно вычислить углы закручивания только граничных сечений участков — угол поворота сечения К, равный углу закручивания участка KL:

Угол закручивания сечения D относительно К, равный углу закручивания участка DK:

Абсолютный угол закручивания сечения D (относительно заделки) равен алгебраической сумме углов закручивания участков KL и DK. Таким образом, ордината эпюры (р в сечении D равна.

Аналогично вычисляют углы закрутки остальных граничных сечений. Угол закручивания сечения С относительно D, равный углу закручивания участка CD:

Абсолютный угол закручивания сечения С относительно заделки равен алгебраической сумме углов закручивания участков KL, DK и CD:

Угол закручивания сечения В относительно С, равный углу закручивания участка ВС

Абсолютный угол закручивания сечения В относительно заделки равен алгебраической сумме углов закручивания участков KL, DK. CD и ВС:

Угол закручивания сечения А относительно В, равный углу закручивания участка АВ:

Абсолютный угол закручивания сечения А относительно заделки равен алгебраической сумме углов закручивания участков KL, DK, CD, ВС и АВ:

Эпюра ср представлена на рис. 63, г.

Пример 17. Из расчета на прочность определить диаметр вала (рис. 64), если известно, что т = 1 кН м, [г] = 100 МПа.

Решение Построение эпюры крутящих моментов для данного вала рассмотрено нами в примере 15.

Рис. 64. Расчетная схема вала и эпюра крутящих моментов.

Определяем наибольший крутящий момент в опасном сечении (4т) и подставляем его значение в условие прочности:

откуда.

Пример 18. Определить максимальное касательное напряжение в поперечном сечении швеллера рамы автомобиля (рис. 65, а если крутящий момент будет равен 1 кНм.

где Лг = - IS, <5,³= «(230−5³ + 2−100* 10³) = 76 250 мм⁴.

Рис. 65. Схемы к расчетам на прочность: а) сечение рамы автомобиля; б) сечение лонжерона Пример 19. Определить размеры hub коробчатого лонжерона (рис. 65, б) при соотношении высоты к ширине h / b = 2 и толщине стенки <5 = 2 мм, если при крутящем моменте, равном 1 кН м, касательные напряжения в его стенках не должны превышать 131 МПа.

Решение Составим условие прочности: тогда