Свободные затухающие колебания

Частное решение равно нулю. Полное решение равно общему: и = Решение ищем в виде или.

где X = Vco² — h² (со — собственная (круговая) частота колебаний системы, И — коэффициент затухания колебаний системы). Произвольные постоянные С, и С₂ определяем из начальных условий.

При / = 0 перемещение и = и₀; скорость du/dt = И₀. Тогда из первого условия С| = w₀.

Из второго условия.

В уравнении (14.4) А = ^С² + С², с = arctg (C,/C₂) или с учетом значений С, и С₂

На рис. 14.5 показаны графики затухающих (И =* 0) и незатухающих (/? = 0) колебаний, построенных по уравнению (14.4). Период затухающих колебаний больше, чем период незатухающих колебаний.

Из выражения X = Vw² -И² следует, что X < со.

Рис. 14.5. Диаграммы затухающих (кривая 2) и незатухающих (кривая /) колебаний Для оценки затухания колебаний введем И/(о — относительный коэффициент затухания. По экспериментальным данным для стальных балок, где колебания затухают довольно медленно, И/со ~ 0,02; для автомобильного амортизатора, отличающегося быстрым затуханием колебаний, И/ш ~ 0,2; в большинстве случаев 0,01 < И/о) < 0,3: Сравним значения К и со при И/со = 0,3:

Для стальных конструкций при И/со ~ 0,02 практически нет разницы между А. и о. Особым случаем являются гидравлические устройства. Для гидробуфера И/о) > 1.

Опытное определение коэффициента затухания колебаний

Затухание колебаний оценивается логарифмическим декрементом где Uj и u_i+l — амплитуда двух соседних пиков свободных затухающих колебаний (рис. 14.6).

Рис. 14.6. Экспериментальная диаграмма затухающих колебаний.

Запишем отношение амплитуд колебаний с использованием выражения (14.4):

где Т — период колебаний. Тогда b = hT = h. Откуда И = —

С учетом X ~ о) ^.

Для определения коэффициента затухания надо иметь график затухающих колебаний. Например, ударить по балке и записать изменение амплитуды колебаний на диаграмму или осциллограмму (см. рис. 14.6); определить логарифмический декремент 6 по формуле (14.6) и коэффициент затухания И/со по формуле (14.7).