Расчётные соотношения для эффектов

Теперь мы можем составить уравнения, чтобы описать эффекты. Уравнения получаются одинаковыми для систем отсчёта источника излучения и наблюдателя (эквивалентность инерциальных систем). Поэтому запишем уравнения в развёрнутом виде для системы отсчёта наблюдателя (см., например, рис. 5).

(2.6).

Из (2.6) вытекают следующие соотношения для углов:

(2.7).

(2.8).

(2.9).

Выражения (2.8) и (2.9) ограничены неравенством .

Коэффициент искаженя расстояния. Введём коэффициент искажений nгал, связывающий кажущееся и реальное расстояния:

(2.10).

При относительных скоростях V значительно меньше скорости света с имеем следующее приближенное выражение:

(2.11).

Коэффициент искажений nгал = 1 (R0 = R) при критическом угле, равном.

.

Наблюдаемая скорость. Выражение для скорости выводится стандартным способом.

При малых скоростях.

с точностью до V2/c2.

Эффект Доплера. Он описывается аналогичной формулой.

При малых скоростях.

с точностью до V2/c2.

где f0 — частота колебаний в системе отсчета источника.

Угол аберрации. Этот угол аберрации, равен д = И0 — И. Его легко вычислить, исходя из геометрических соображений (см. рис. 5):

cos д = R0R / R0R.

Дополнительные соотношения. Геометрически ясная картина явления аберрации и простые геометрические связи позволяют сформулировать еще две важных формулы:

1. Из рис. 5 следует, что реальное расстояние R0(t) и кажущееся (наблюдаемое) расстояние R (t) связаны простым отношением: R (t) = R0(t — R0 / c). Это позволяет легко сопоставлять наблюдаемое (измеряемое) расстояние с реальным расстоянием между объектом и наблюдателем в момент приема сигнала.

2. Простота получения частных производных (выражение (2.3)) открывает возможности использования преобразования Галилея для описания эффектов при криволинейном движении источника. Можно использовать, например, следующую замену где: — параметр, зависящий от времени; - матрица вращения; индексы б, в = 1, 2, 3.

3. К сожалению, эффекты, описываемые параметрическим преобразованием Галилея, совпадают с эффектами, предсказываемыми преобразованием Лоренца, с точностью до членов V2/c2. В частности параметрическое преобразование не описывает поперечный эффект Доплера. Однако, это преобразование весьма удобно при малых относительных скоростях относительных движений (эффекты первого порядка) при произвольном движении источника и наблюдателя. Подобное описание в рамках преобразования Лоренца математически более громоздко.