Выбор предположения о виде закона распределения случайной величины

В лесозаготовительных процессах чаще могут встречаться следующие основные виды распределения случайной величины: показательное (экспоненциальное), нормальное, логарифмически нормальное, гамма, эрланговское и ряд других [269, c. 27; 267, с. 128].

Если найден закон и параметры случайной величины, то она перестает быть неизвестной. Для анализа статистическое (эмпирическое) распределение необходимо заменить теоретическим. Теоретическое распределение свободно от тех случайных колебаний, которые наблюдаются в статистических распределениях вследствие ограниченного числа наблюдений. Однако как бы хорошо не была подобрана теоретическая кривая распределения между нею и статическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Проверка того, не противоречит ли предполагаемое распределение опытным данным решается с помощью критерия согласия. Наиболее часто применяется критерий согласия Пирсона .

Критерий Пирсона дает возможность оценить степень согласованности предполагаемого теоретического с эмпирическим распределением. Один из способов оценки сходимости — нахождение вероятности. Если полученная вероятность весьма мала (настолько мала, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то гипотезу о предполагаемом теоретическом законе распределения случайной величины следует отбросить как неправдоподобную. Наоборот, если сравнительно велика, можно признать расхождение между теоретическим и эмпирическим распределением значительным.

При исследовании технологических процессов обычно считают, что если не меньше, то гипотетическое распределение хорошо согласуется с опытными данными (по другим источникам граничным значением берется [277, с. 337]).

Следует сказать, что с помощью критерия (или любого другого критерия согласия) можно только в некоторых случаях опровергнуть предполагаемую гипотезу (и отбросить ее как явно не согласную с опытными данными); если же вероятность велика, то этот факт сам по себе ни в коем случае не может считаться доказательством справедливости гипотезы, а указывает только на то, что гипотеза не противоречит данным наблюдений и не исключена возможность математического описания технологической операции каким-либо другим распределением.

При пользовании критерием Пирсона количество данных в каждом интервале должно быть не менее 5. Если число наблюдений в различных интервалах мало, то такие интервалы объединяют [277, с. 337−338].

Таблица 8.

Степень близости эмпирического распределения случайной величины (длительность распиловки бревен на лесопильной раме) к теоретическим вероятностным распределениям.

Как видно из таблицы 8 наилучшим образом статистическое распределение случайной величины описывается теоретической кривой гамма распределения.

Таблица 9.

Эмпирические и теоретические частоты и частости (вариант группировки А).

Гамма распределение обязано своим названием гамма функции. Гамма распределение имело большое значение в классических методах и служит основой для построения современных методов статистического исчисления [277, с. 248]. Гамма распределение соответствует кривой распределения Пирсона III-го типа [277, с. 286; 625, с. 185]. В теории массового обслуживания гамма распределение иногда называют распределением Эрланга [633, с. 68]. Гамма распределение переходит в экспоненциальное, когда параметр формы распределения равен нулю [622, с. 161] и тесно связано с нормальным распределением [277, с. 256−257].

Если воздействие одного или нескольких факторов из большого их числа, влияющего на случайную величину, значительно превосходит по силе воздействия все остальные факторы, то распределение случайной величины приобретает положительную асимметрию, что может быть описано гамма распределением [627, с. 153].

Дифференциальная функция или плотность функции гамма распределения имеет вид [622, с. 160; 621, с. 47; 626; 620, с. 129].

.

Или.

[626].

где — параметр масштаба;

— параметр формы.

Интегральная функция [622, с. 160]:

.

где — неполная гамма функция табулированная К. Пирсоном.

Рис. 3 Гистограмма и теоретические кривые по гамма распределению для длительностей интервалов времени распиловки бревен на лесопильной раме (вариант группировки А)