Геометрические характеристики сечений

Пусть имеется некоторая плоская фигура (сечение тела), связанная с декартовой системой координат и имеющая площадь (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Центр тяжести плоской фигуры

По определению центром тяжести плоской фигуры называется геометрическая точка с координатами.

, (1.1).

где.

. (1.2).

Величины (1.2) называются статическими моментами фигуры относительно оси и соответственно. Такое название дано по аналогии с понятием момента силы относительно оси, если только в качестве силы иметь в виду площадь фигуры.

Ось, проходящая через центр тяжести сечения, называется центральной осью. Очевидно, если начало координат совпадает с центром тяжести сечения, то обе координатные оси будут центральными осями. Относительно них, ибо в этом случае .

Осевым моментом инерции плоской фигуры называется интеграл произведения площади элементарной площадки на квадрат её расстояния от рассматриваемой оси. Так, моменты инерции плоской фигуры (рис. 1.1) относительно осей и соответственно равны.

. (1.3).

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно данной точки (полюса) называется интеграл произведения площади элементарной площадки на квадрат её расстояния до полюса (рис. 1.1):

. (1.4).

Поскольку, из (1.3) находим.

. (1.5).

Центробежным моментом инерции плоской фигуры называется интеграл произведения площади элементарной площадки на её расстояния от координатных осей, (рис. 1.1):

. (1.6).

Величины осевых моментов инерции, и полярного момента инерции плоской фигуры всегда положительны. Напротив, центробежный момент инерции в зависимости от положения осей может быть либо положительным, либо отрицательным, либо равным нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции.

Главные оси, проходящие через цент тяжести плоской фигуры, называются главными центральными осями.