Требуется вычислить интеграл.
.
где область G задаётся следующими неравенствами: .
Область интегрирования принадлежит единичному квадрату. Для вычисления интеграла воспользуемся таблицей случайных чисел (см. приложение), при этом каждые два последовательных числа из этой таблицы примем за координаты случайной точки .
Записываем координаты и случайных точек в табл. 3.1, округляя до 3 знаков после запятой, и выбираем те из них, которые принадлежат области интегрирования.
Заполним табл. 3.1 по правилу:
1) Среди всех значений выделяем те, которые заключены между и .Для этих значений полагаем, для всех остальных ;
2) Среди всех значений. Соответствующих выделенным, выбираем те, которые заключены между ;
Для этих значений полагаем, для всех остальных .
Таблица 3.1.
|
|
0.577. | 0.500. | 1.000. | | 0.716. | | 0.154. | | |
0.737. | 0.500. | 1.000. | | 0.701. | | 0.474. | | |
0.170. | 0.500. | 1.000. | | 0.533. | |
0.432. | 0.500. | 1.000. | | 0.263. | |
0.059. | 0.500. | 1.000. | | 0.663. | |
0.355. | 0.500. | 1.000. | | 0.094. | |
0.303. | 0.500. | 1.000. | | 0.552. | |
0.640. | 0.500. | 1.000. | | 0.205. | | 0.280. | | | 0.452. |
0.002. | 0.500. | 1.000. | | 0.557. | |
0.870. | 0.500. | 1.000. | | 0.323. | | 0.740. | | | 0.855. |
0.116. | 0.500. | 1.000. | | 0.930. | |
0.930. | 0.500. | 1.000. | | 0.428. | | 0.860. | | | 1.048. |
0.529. | 0.500. | 1.000. | | 0.095. | | 0.058. | | |
0.996. | 0.500. | 1.000. | | 0.700. | | 0.992. | | | 1.482. |
0.313. | 0.500. | 1.000. | | 0.270. | |
0.653. | 0.500. | 1.000. | | 0.934. | | 0.306. | | |
0.058. | 0.500. | 1.000. | | 0.003. | |
0.882. | 0.500. | 1.000. | | 0.986. | | 0.764. | | |
0.521. | 0.500. | 1.000. | | 0.918. | | 0.042. | | |
0.071. | 0.500. | 1.000. | | 0.139. | |
всего. | | 3.837. |
- 3) Вычисляем. Области тнтегрирования принадлежат только те точки, для которых. В примере
- 4) Вычисляем значения подынтегральной функции в полученных точках.
После заполнения табл. 3.1 вычисляем площадь области интегрирования и по формуле (3.2) находим.
Для сравнения приведём точное значение интеграла.
Результат имеет сравнительно небольшую точность потому, что число точек недостаточно велико.