Уравнения Навье-Стокса вот уже иа протяжении полувека занимают ключевую, и должно быть наиболее заметную позицию в уравнениях гидродинамики. Проблема описания движения идеальной вязкой несжимаемой жидкости представляется тем более интересной и значимой, поскольку многие природные процессы как-то разного рода атмосферные явления, волнения на море, сейсмические явления могут быть описаны с точки зрения уравнений гидродинамики. Наиболее интересным и важным является вопрос о существовании решения задачи Коши для системы Навье-Стокса, поскольку именно прекращение существования решения, как раз и отвечает таким стихийным бедствиям, как ураганы, цунами, извержения вулканов, землетрясения и т. п.
Многие исследователи по всему миру обращались к проблеме существования и единственности решения этой системы. Сравнительная доступность экспериментов, простота уравнений в модели, широкий спектр применения результатов и вместе со всем этим чрезвычайная трудность математической задачи — вот те факторы, которые делают теорию уравнений Навье-Стокса столь интересной для ученых различных отраслей физики и математики.
§ 1.1 Основные результаты.
В главе 1 вводятся пространства функций Ф (а, и>), где, а и и> постоянные параметры, зависящие только о размерности (I. В этих пространствах для случая <1 > 3 доказываются локальные теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений (4)-(5) в отсутствие внешней силы.
Теорема. Для любого к 6 М+ найдется такое Т = Т (а, и>, с/, К) > 0, что для всякого начального данного г0(к) € Ф (а, о-): ||г'о (А-)||а1Ш ^ к на интервале [О, Т] существует решение задачи Коши для системы Навье-Стокса. Такое решение единственно в классе функций Ф (а, ы).
Теорема. Для всякого Т € М+ найдется такая константа /г = Н (Т, си, со, с1), что при начальных данных г’о (к): ЦгоЦа,^ ^ Ь на отрезке [0,Т] существует единственное в классе Ф (а, ш) решение у (к, ?) задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальными данными го (к).
Кроме того, при критических значениях параметров, а и ы, а именно при, а = и = (1—1 имеет место глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши, если только норма || • начального данного достаточно мала.
Теорема. Найдется такая константа е — е (сI), что для любого Т > 0 существует единственное непрерывное отображение у (к, ?): х [О, Т —> С'1: у (к, ?) 6 Ф (с/ — 1, — 1) У£ 6 [О, Г], являющееся решением задачи Коши для системы Навье-Стокса при начальных данных г’о (к), принадлежащих пространству Ф (о? — 1, (1 — 1) таких, что г.
В главе 2 рассматривается двумерная система Навье-Стокса, написанная для вихря. Доказывается локальная теорема существования решения задачи Коши для такой системы с начальными данными, принадлежащими пространству Ф (а, а) с бесконечной энергией и энстрофией. Доказательство проводится при помощи техники, развитой в главе 1. сл (к ?).
Для однопараметрического семейства начальных данных Мл (к, ?) = ¦' '—, ½ <
Ща, а < 1 рассматривается классическая итерационная схема — последовательность ЙИ)(М)}, где = Ае~М (к), 8ир с (к) = 1 ей2 и выполняется рекуррентное соотношение о а2.
Утверждение. Последовательность {с^к, ?)} лежит в пространстве равномерно ограниченных функций при всех к Е Е2 и при всех? € [0, ?0] для некоторого ?0 = ?о{а, А).
Утверждение. Последовательность ?)} является последовательностью Коши в пространстве равномерно ограниченных функций при всех к 6 М² и при всех? € [0, ?0] для некоторого ?0 = ?о (а, Л).
В ходе доказательства этих утверждений, вводится новый управляющий параметр системы.
Л = Л£?
При выполнении соотношения, А < В, где В — это некоторая мировая константа, решение с нормой начального данного, равной А, существует на отрезке времени [0, £о].
Представлено разложение решения задачи Коши в ряд по степеням параметра Л.
Имеет место следующая теорема.
Теорема. Функции др (х, ?) удовлетворяют следующим оценкам:
1. при р = 1 где.
2. при р = 2 где.
3. при р ^ 3 где г (~) при 0 < а: < 1.
П{х) — < ^ х > 1.
Мх) = Л 2−2″ ж, при 0 < х < 1×2~2а, при X ^ 1 х, при 0 < х < 1 р (я) = <.. п.
1, при X ^ 1.
Константы Ср удовлетворяют следующему соотношению.
1+Р2=р-1 для некоторой константы В.
В главе 3 рассматривается двумерное уравнение Навье-Стокса для завихренности. В случае с ненулевой внешней силой, здесь доказывается аналитичность решения задачи Коши для системы (2)-(9) в любой момент времени.
Здесь изложена совместная работа автора с Ю. Ю. Бахтиным и Е. И. Динабургом. Работа посвящена исследованию аналитичности решения двумерной системы уравнений Навье-Стокса с ненулевой внешней силой, записанной для вихря. Первые результаты, касающиеся существования и единственности решения задачи Коши для такой системы были получены, по всей видимости, МакГрафом. В его работе [McG67] была сформулирована следующая теорема.
Теорема. Пусть loo € Ьг (К2) П L°°(R2), и все вторые производные cu0 равномерно гёльдеровы в!2 с некоторым показателем Л > 0. Пусть также Т > 0 таково, что / € LQT) П L°°(Qt), где Qt = R2 х [0, Т] и f локально гёльдерова с тем же показателем, А по пространственным переменным при любом t е [0, Т]. Тогда существует ограниченное классическое решение и задачи Коши (7) на [0, Т]. Все производные решения, входящие в постановку задачи Коши, ограничены и непрерывны на QtЭто решение единственно в классе функций, рост которых па бесконечности ограничен некоторой экспонентой (более точно — в тихоновском классе единственности). Кроме того, sup [IK-.OlUooiR2) + ||w (-, i) IUi (R3)] < te[o, T] IMk~(R2) + IMUhr2) + tII/IU°°(QT) + II/IU4qt)>
Результаты, касающиеся существования и единственности решения этой задачи с нулевой внешней силой, были получены и при менее ограничительных условиях на начальные данные (см. например [GM088]).
Аналитичность полученного решения доказывается в терминах преобразования Фурье. А именно, мы доказываем следующее утверждение.
Введём для произвольной функции /: R2 —> R обозначения:
La = SUp ——ГГ7, с*^0,7>0,.
Ul7, fc (1 Л |A-|-T)e" Qlfcl •.
I/I7 = 1/17,0, 7 > 0. '.
Теорема. Пусть начальное условие и’о и вихрь силы / удовлетворяют условиям теоремы МакГрафа. Пусть кроме того при некотором 7 > 0 выполнено ро|7 < оо и при некоторых о > 0, С/ > 0 гг всех t > 0 выполнено |/(-, OI7," ^ С/. Тогда существуют неубывающие положительные при t > 0 функции (5{t) и D (t) такие, что решение и задачи Коши для системы Навье-Стокса с начальным условием о,'о удовлетворяет неравенству.
При этом существует время Т > 0 такое, что функция /3(t) постоянна при t ^ Т, а функцию D (t) можно выбрать линейной при t ^ Т. В отсутствие внешней силы функцию D (t) можно выбрать постоянной при t ^ Т.
В главе 4, на основе разложения решения трехмерной задачи в ряд, полученного в статье [SinOoc] представлен алгоритм численного. моделирования решения задачи Коши для уравнений (5) и представлены результаты счета. Отличительной особенностью данного алгоритма является его скорость сходимости, поскольку используемая итерационная схема, в силу работы [SinOoc], стремится к решению экспоненциально.
Автор бесконечно признателен Я. Г. Синаю за неослабевающий интерес к работе, постоянную помощь и поддержку в идеях и методах.
