О классификации конечных локальных колец характеристики ?, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре

Актуальность темы

Одной из актуальных проблем современной алгебры является задача описания и классификации конечных колец малых порядков. Каждое конечное кольцо с единицей единственным образом представимо в виде прямой суммы колец, порядки которых есть степени некоторых простых чисел, то есть R = ф ^ Rp, где р

Rp = {х е R рпх = 0 для некоторого п > 1}. Поэтому при классификации конечных колец достаточно рассматривать только кольца порядка рп. За последние десятилетия удалось полностью описать некоторые из таких типов колец. Так, В. Г. Антипкин и В. П. Елизаров полностью описали кольца порядка рп для тг < 3 (см. [1, 2]). В частности, В. П. Елизаров классифицировал все ненильпотентные кольца порядка р4 (см. [2]). При этом число неизоморфных колец, полученных ими, различно для р = 2 и р / 2. В работе [3] В. А. Ратиновым частично описаны кольца порядка р4, при этом различались случаи р = 2, р ф2 \р = 1 (mod 3), р ф 1 (mod 3). Д. Дерр, Г. Орр, П. Пек в 1994 году впервые указали исчерпывающий список некоммутативных колец порядка р4 (см. [6]). Авторы ограничили себя некоммутативным случаем в связи с тем, что конечное коммутативное кольцо является прямой суммой локальных колец, а конечные локальные кольца порядка р4 были к тому времени наиболее изучены (см. также [27]).

Б. Горбас и Г. Вилльямс в 2000 году в работе «Rings of order р5» (см. [16, 17]) классифицировали с точностью до изоморфизма все конечные кольца порядка р5. Более того, ими были полностью описаны все конечные кольца порядков р, р2, р3 и р4, при этом их результаты совпали с полученными ранее. Метод, использующий теорию полусовершенных колец и теорию графов, позволил им по сути свести проблему к классификации конечных локальных колец, то есть колец с условием R/J® = F, где F — поле. Авторы указали также на то, что их метод открывает перспективы для изучения строения колец более высоких порядков. Здесь важно отметить, что согласно их замыслу, необходимо сначала полностью классифицировать все конечные локальные кольца рассматриваемого порядка, а затем уже, рассматривая соответствующие разложения в прямые суммы полусовершенных колец, получить окончательный результат.

Данная работа посвящена описанию локальных колец. Чтобы понять ее значимость для теории конечных колец, кратко опишем технику классификации конечных локальных колец.

Пусть R — локальное кольцо порядка рп, J® — радикал Джекобсона кольца R и R/J® = GF (pr) = F. Заметим, что J® является множеством всех пильно-тентных элементов кольца R или, что равносильно, множеством всех делителей нуля. Рассмотрим последовательность R = J{R)° D J® Э J®2 Э Если S- =.

00 dirrijp то г s- = п и, в частности, гп. Если п является простым чиi=0 слом, то либо J® = 0 и R = </(/2), либо г = 1. Если же, к примеру, п = 6, то возможны также случаи г = 2 и г = 3.

Далее, так как Л является конечным кольцом, то его радикал J® нильпотентен. Следовательно, s^ = 0 тогда и только тогда, когда J®N — 0, причем Sj = 0 для всех г > N. Если N — наименьшее из всех таких чисел, то есть J®N~1 ф 0, то N называется индексом нильпотентности радикала J®. Так как S- > 1 (0 < г < N — 1), то п > rN. Заметим, что 1-р 6 J® (т.к. р = charGF (pT), GF (pr) = R/J®), а значит, pN = 0 и характеристика кольца R равна рк для некоторого к < N. Следовательно, п > гк. Случай п = гк был исследован в работах [21, 22, 24]. А именно, с точностью до изоморфизма существует только одно конечное локальное кольцо R порядка ртк и характеристики рк. Это кольцо называется кольцом Галуа GR (prh, pk) и представимо в виде Zpk[x]/(f), где / является многочленом степени г, неразложимым, но модулю р. Тривиальные случаи — GR (pn, pn) = Zpn и GR (pn, p) = GF (pn). Кроме того, полностью классифицированы конечные локальные кольца следующих типов (далее s = Sj): i=О.

1. R =рп, charR = рк, J{Rf = 0 для любого к (см. [12, 11]);

2. |Я| = pST, charR = р, J{R)s~l ф 0, то есть 1 = sx > s2 > s3 >. > 0 (см. [24]);

3. |Л| = psr, charR = ps1, J®s~l ф 0, то есть так называемые (см. [24]) почти кольца Галуа (near Galois rings);

4. |Я| =ps, г = 1, charR = рк, J (7?)s" 1 ф 0 для любого к (см. [16, 17]);

5. |Я| = pk+1 = р ¦ charR (см. [16, 17]).

Итак, в силу сказанного выше, каждому конечному локальному кольну соответствует некоторая последовательность (к, г, s, 5 г,.). Б. Горбас и Г. Вилльямс [16, 17]) при классификации колец порядка ръ перебрали все возможные комбинации значений (к, г, s, s2,. ¦.) для рассматриваемого числа п. Так, при п = 4 и к = 1 им пришлось последовательно описать кольца следующих типов:

1,1,1,1,1,0,.), (1,1,2,1,0,.), (1,1,3,0,.), (1,2,1,0,.), (1,4,0,.).

Более подробно рассмотрим ситуацию, когда п — G и к = 1. Типы колец, соответствующих этим значениям п и к, приведены в таблице 1.

Таблица 1. к г Sl S2 S3 54 S5.

1 1 1 1 1 1 1 1.

2 1 1 2 1 1 1 0.

3 1 1 2 2 1 0 0.

4 1 1 2 1 2 0 0.

5 1 1 3 1 1 0 0.

6 1 1 2 3 0 0 0.

7 1 1 3 2 0 0 0.

8 1 1 4 1 0 0 0.

9 1 1 5 0 0 0 0.

10 1 2 1 1 0 0 0 и 1 2 2 0 0 0 0.

12 1 3 1 0 0 0 0.

13 1 б 0 0 0 0 0.

Кольца типа (1,6,0,0,0,0,0) (строка 13) изоморфны конечному полю GF (p6), а кольца типа (1,1,1,1,1,1,1) (строка 1) изоморфны кольцу R = Zv[X}/(xb) (см. [16]). Типы (1,1,5,0,0,0,0), (1,2,2,0,0,0,0), (1,3,1,0,0,0,0) (строки 9, 11, 12) соответствуют кольцам с J®2 = 0 и классифицировании в работах [12, И]. В работе [8] полностью классифицированы кольца типа (1,2,1,1,0,0,0) (строка 10). Кроме того, в пей указано количество нсизоморфиых колец типов (1,1,2,3,0,0,0), (1,1,3,2,0,0,0) (строки б, 7) в случаях |FJ = (GF (p)j < 5. Одним из результатов настоящей работы является полная классификация, с точностью до изоморфизма, колец типов (1,1,2,2,1,0,0), (1,1,2,1,2,0,0), (1,1,3,1,1,0,0).

Кольца типов (1,1,2,1,1,1,0), (1,1,4,1,0,0,0) (строки 2, 8) остаются пока неисследованными. Заметим лишь, что задача классификации колец типа (1,1,4,1,0,0,0) равносильна задаче о нахождении представителей классов эквивалентности, определенной на матрицах А, В € M^{F) но правилу:

А~В&ЗР<= GL (4,F), 3 teF*: A=^t-PT ¦ В ¦ P.

Аналогичные задачи для матриц А, В G M2(F) и А, В (= M3(F) были решены в работах [5, 13, 18, 19, 28, 29].

Каждому типу колец соответствует определенный индекс нильпотентности радикала. Поэтому естественным образом возникает необходимость в информации о строении конечных локальных колец, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности 2, 3 и 4, и о необходимых и достаточных условиях существования изоморфизма между такими кольцами.

В работах [12, 11] Б. Горбас указал конструкцию конечного локального кольца с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 2.

Конструкция А1 ([12]): Кольцо R называется «кольцом с несколькими делителями пуля» («ring with few zero divisors»), если оно содержит в точности п+1 делитель пуля и |Л| = (п+1)2. Пусть R0 является либо конечным полем, либо кольцом с несколькими делителями пуля, М — единственный максимальный идеал R, V — конечномерное векторное пространство над Rq/M и кр: Rq/M —> End^/Miy) — гомоморфизм колец. На аддитивной группе Ro © V определим умпоо/сепие по правилу г, и) ¦ (s, г-) = (rs, (г + M) v +.

Относительно введенного умпоэ/сепия группа Ro ® V превращается в кольцо. Теорема ([12]): В конечном кольце R с единицей произведение любых двух делителей нуля равно пулю тогда и только тогда, когда R изоморфно одному из колец конструкции А1.

В 1999 году Ч. Чикунджи описал строение колец с условием J®3 ~ - 0 (см. [7]). Им были получены следующие результаты.

Конструкция А2 ([7]): Пусть F = GF (pr) — поле Галуа. Для натуральных чисел s, t, Л (I < t < s2, X > 0), пусть U, V, W будут соответственно s, t, Х-мерпые векторные пространства над полем F с базисами {uj}, {vfl}, {wПусть также, А — (ajj), A.

1. (a-j), (afj),., (aj) — линейно независимы;

2. для као/сдого г? {l,., s} существуют числа к € {1,.,?} и j G {l,., s}, такие, что аф 0 или а^ф 0.

Пусть {<7i,.,.

Рассмотрим прямую сумму R=F@U®V (r)W и определим па R умноэ/сение по правилу а0, Е^ь • («о, ^a'iUu = о^о, + а*(аоГ'] Ui> + РМУ*] UA"> t* s.

Wk.

Относительно введенной операции аддитивная группа R превращается в ассоциативное кольцо.

Теорема ([7]): Кольцо R конструкции А2 является конечным локальным кольцом характеристики р, радикал До/секобсона которого имеет индекс нильпотентности три. Обратно, каждое такое кольцо изоморфно одному из колец конструкции А.

Ч. Чикунджи в работах [7, 8] были также получены необходимые и достаточные условия существования изоморфизма между двумя кольцами конструкции А2 в случае, когда автоморфизмы {о,., crs}, {ti, ., тЛ},., 0t}, обусловливающие их строение, являются тождественными или, что равносильно, когда F = GF{pT) С Z®, где Z® — центр кольца R.

Теорема ([7, 8]): Пусть R{A,., At) и R'(А[,., A’t) — кольца конструкции А2, центры которых codepoicam максимальные подполя Галуа F. тогда и только тогда, когда существуют В = {Pkp)? GL (t, F), С? GL (s, F) и a G Aut (F), такие, что t.

Dp = k=1.

Эти результаты сыграли важную роль в классификации колец порядка ръ (см. [14, 15]). Заметим, что с увеличением значения п (|Л| = рп) увеличивается и индекс нильпотентности радикала Джекобсона рассматриваемого кольца. Так, для классификации локальных колец порядка рп, п < 5 и характеристики р достаточно перечисленных выше результатов, но для колец R порядка р6 необходимо иметь сведения о строении конечных локальных колец с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности четыре (для колец порядка р7 соответственно индекса нильпотентности пять и т. д.).

Цель работы. Основной целью работы является описание с точностью до изоморфизма всех конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории колец и компьютерной алгебры. В частности автор использовал систему компьютерной математики Matlab 7.0 (см. [30]).

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Указано строение конечных локальных колец характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

2. Найдены необходимые и достаточные условия существования изоморфизма между двумя произвольными конечными локальными кольцами характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

3. Классифицированы с точностью до изоморфизма все конечные локальные кольца порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.

Практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы для дальнейшего развития теории конечных колец, в частности, для классификации конечных колец порядка большего и равного рб.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара «Теория колец» кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета, на международных конференциях по алгебре «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2004, 2005), на восьмой краевой конференции по математике.

МАК 2005 (Барнаул, 2005), на донятой краевой конференции по математике МАК 200G (Барнаул, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, четыре из них — тезисы трудов конференций (см. [31] — [36]).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем диссертации составляет 89 страниц.

1. Антипкин В. Г., Елизаров В. П. Кольца порядка р3 // Сибирский математический журнал. — 1982. № 23(4). — С. 9−18.

2. Елизаров В. П. Нильпотентные конечные кольца // Рукопись деп. в СО АН СССР (редколлегия Сибирского математического журнала) 21.09.85., № 1472−85. 37 с.

3. Ратинов В. А. Полусовершенные кольца со специальными типами присоединенных групп: Дис.. канд. физ.-мат. наук. Москва. 1980. 107 стр.

4. Мальцев Ю. Н. Критические кольца и многообразия ассоциативных колец: Дис.. доктора физ.-мат. наук. Барнаул. 1985. 243 стр.

5. Bremser P. S. Congruence classes of matrices in GL2{Fq) // Discrete Mathematics. -1993. Vol. 118. — P. 243−249.

6. Derr J.B., Orr G.F., Peck P. S. Noncommutative rings of order pA // Journal of Pure and Applied Algebra. 1994. — Vol. 97. — P. 109−116.

7. Chikunji C. J. On a Class of Finite Rings // Communication in Algebra. 1999. — Vol. 27(10). — P. 5049−5081.

8. Chikunji C. J. Enumeration of Finite Rings with Jacobson Radical of Cube Zero Electronic resource] Cornell University Library, 1999 — Mode of access: http://arxiv.org/abs/math.RA/9 905 030.

9. Chikunji C. J. Using Matlab to solve a classification problem in finite rings Electronic resource] 2nd international conference on the teaching of mathematics, Greece, 2003 -Mode of access: http://www.math.uoc.gr/ ictrn2/Proceedings/pap252.pdf.

10. Chikunji C. J. On a class of rings of order p5 // Math. J. Okayama Univ. 2003. — Vol. 45. — P. 59−71.

11. Corbas B. Rings with few zero divisors // Math. Ann. 1969. — Vol. 181. — P. 1−7.

12. Corbas B. Finite rings in which the product of any two zero divisors is zero // Archiv der Math. -1970. Vol. 21. — P. 466−469.

13. Gorbas В., Williams G.D. Matrix representatives for three-dimensional bilinear forms over finite fields // Discrete Mathematics. 1998. — Vol. 185. — P. 51−61.

14. Corbas В., Williams G.D. Gongruence of two-dimensional subspaces in M2(K) (characteristic ф 2) // Pacific Journal of Mathematics. 1999. — Vol. 188(2). — P. 225−235.

15. Corbas В., Williams G.D. Gongruence of two-dimensional subspaces in M2(K) (characteristic 2) // Pacific Journal of Mathematics. 1999. — Vol. 188(2). — P. 237−249.

16. Corbas В., Williams G.D. Rings of order p5. Part 1. Nonlocal rings // Journal of Algebra. 2000. — Vol. 231 — P. 677−690.

17. Corbas В., Williams G.D. Rings of order p5. Part 2. Local rings // Journal of Algebra. -2000. Vol. 231. — P. 691−704.

18. Gorbas В., Williams G.D. Congruence classes in M$(Fq) (q odd) // Discrete Mathematics. 2000. — Vol. 219. — P. 37−47.

19. Gorbas В., Williams G.D. Congruence classes in Mz (Fq) (q even) // Discrete Mathematics. 2002. — Vol. 257. — P. 15−27.

20. Fine B. Classification of rings of order p2 // Mathematics Macazine. 1993. — Vol. 66(4). — P. 248−252.

21. Janusz G.J. Separable algebras over commutative rings // Trans. Ainer. Math. Soc. -1966. Vol. 122. — P. 461−479.

22. Krull W. Algebraische theorie der ringe II // Math. Ann. 1924. — Vol. 91. — P. 1−46.

23. McDonald B.R. Finite rings with identity. N.Y., 1974. — 430 p.

24. Raghavendran R. Finite associative rings // Compositio Math. 1969. — Vol. 21. -P. 195−229.

25. Wilson R.S. On the structure of finite rings // Compositio Mathematica. 1973. Vol. 26. — P.79−93.

26. Wilson R.S. On the structure of finite rings 2 // Pacific Journal of Mathematics. 1974.-Vol. 51(1). — P. 317−325.

27. Wilson R.S. Representations of finite rings // Pacific Journal of Mathematics. 1974.-Vol. 53. — P. 643−649.

28. Williams G.D. Congruence of (2×2) matrices // Discrete Mathematics. 2000. — Vol. 224. — P. 293−297.

29. Waterhouse W.C. The number of congruence classes in Mn (Fq) If Finite Fields and their Applications. 1995. — Vol. 1. — P. 57−63.

30. Matlab. The language of tecnical computing. Version 7.0.0.19920 (R14) Electronic resource]. Copyright 1984;2004, The MathWorks, Inc. — Mode of access: http://www.rnathworks.com.Работы автора по теме диссертации.

31. Журавлев Е. В. Конечные кольца, радикал Джекобсона которых в четвертой степени равен нулю // Материалы восьмой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ. 2005. 102 с.

32. Журавлев Е. В. О классификации конечных локальных колец порядка р6 // Материалы восьмой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ.2005. 102 с.

33. Журавлев Е. В. Классификация конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Материалы девятой краевой конференции по математике. Барнаул: Изд-во АлтГУ.2006. 100 с.

34. Журавлев Е. В. Локальные кольца порядка р6 с 4-нильпотентным радикалом Джекобсона // Сибирские электронные математические известия Электронный ресурс]. 2006. Том 3. — С. 15−59. — Режим доступа: http://semr.math.nsc.ru.

35. Журавлев Е. В. Конечные локальные кольца порядка р° и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре // Известия Алтайского государственного университета. 2006. № 1 (49). — С. 17−32.