Аналитическое исследование дискретных хаотических процессов на основе операторного подхода

Актуальность работы. Простейшими моделями хаотических процессов, как известно, являются динамические системы с дискретным временем — одномерные отображения, описываемые разностными уравнениями вида хп+1 = <�р (хп Д)>п = 0,1,2,."" G (a>b), (Bl) где (р — нелинейная или кусочно-линейная итеративная функция, сохраняющая меру в области определения отображенияЯ — параметр, определяющий особенности динамики отображения [1−9]. Со временем они не утратили своего и научного, и методологического значения для нелинейной науки. Собственно, первые серьезные шаги на пути ее изучения и начинаются со сценария М. Фейгенбаума перехода к хаосу [10−12], обнаруженного впервые именно для одномерных отображении. Второй важный концептуальный пример связан с развивавшейся коллективом авторов во главе с И. Р. Пригожиным фундаментальной концепцией относительно определяющей роли хаоса в возникновении «стрелы времени» (необратимости физических процессов при наличии обратимого характера уравнений движения) с привлечением в качестве базового объекта теории простейшего диадического отображения (сдвига Бернулли) [13]. Интересен, далее, тот факт, что парадигма детерминированного хаоса заняла свою нишу в общей теории относительности, когда была открыта хаотическая осцилляция компонент метрического тензора согласно одномерному отображению Гаусса в однородной анизотропной космологической модели типа IX по Бианки вблизи особенности (Mixmaster Universe -" Перемешанный мир") [14−19].

Конкретные применения моделей «малоразмерной нелинейной динамики» для анализа нерегулярных процессов продолжаются и по сей день, причем в разнообразных отраслях знания — в физике (от механики до космологии), в информационных технологиях, экономике, финансовой математике и т. д. [1−9, 20−22], но научная значимость подобных «простых» моделей заключается, прежде всего, в возможности (в определенных случаях) точного аналитического вычисления основных траекторных, вероятностных и спектральных характеристик изучаемого хаотического процесса. Исследование же численными методами более сложных чувствительных к изменениям начальных условий систем в связи с особой структурой машинных чисел и нарушением правил «обычной» арифметики может сталкиваться с большими проблемами, вплоть до появления результатов, на самом деле являющихся машинными «фантомами» [23−25].

В этой ситуации представляет несомненный интерес глубокое математическое исследование «классики» нелинейных явлений как собственно математического объекта, так и как возможного инструмента для анализа новых нелинейных явлений.

В последнее время доминирующим в подобных исследованиях является операторный подход, основанный на анализе спектральных свойств линейного, несамосопряженного, положительно определенного оператора Перрона-Фробениуса, который описывает динамику плотностей вероятностных мер под действием отображения [26−31]. Генезис вероятностного описания хаотических динамических систем связан с рассмотрением начального значения х0 и рекуррентно вычисляемых точек траектории (реализации) хп как случайных величин, соответственно обозначаемых как Х0 и Хп. Подобная экспликация оправдана тем, что совокупность значений хп при любом начальном значении х0 демонстрирует идентичные распределения по области определения, а случайная вариация начального условия системы, чувствительной к этому параметру, позволяет делать прогнозы о ходе траектории исключительно в вероятностном ключе. В общем виде оператор Перрона-Фробениуса имеет вид.

Pf{x)=f{t)S{x-(p (tMdt, (В2) где д{х) — дельта-функция Дирака. В вероятностной трактовке (В2) — это обычное правило преобразования вероятностных плотностей при нелинейном преобразовании случайной величины (Хп+1 = р (Хп, Л)), которое может быть в силу фильтрующих свойств дельта-функции преобразовано от интегрального уравнения с сингулярным ядром к функциональному уравнению. Для кусочно-линейных отображений оно имеет вид линейной комбинации функции /(х) при различных значениях аргумента вида ах + Ь. А наличие неподвижной точки оператора Перрона-Фробениуса (В2), называемой инвариантной плотностью, служит доминантным признаком как раз детерминированного хаоса, развивающегося в системе (В1). 5.

Потребность в операторном подходе возникла уже при первых попытках рассмотреть асимптотические процессы в динамической системе, описывающей процесс разложения случайного иррационального числа в непрерывную дробь (задача Гаусса) [32]. Общие свойства # оператора Перрона-Фробениуса рассмотрены в работах таких авторов как D. Ruelle, D.H. Mayer, A. Lasota, М.С. Mackey, V. Baladi, М. Iosifescu, S. Isola, M.Jl. Бланк. Вопросы спектрального разложения оператора Перрона-Фробениуса изучались в работах М. Dorfle, И. Р. Пригожина (I.Prigogine), I. Antoniou, D. Driebe, P. Gaspard, H.H. Hasegava, G. Nicolis, W.C. Saphir, S. Sucanecki, S. Tasaki, D. MacKernan, R.F. Fox, Ю. А. Куперина, А. Ф. Голубенцева.

Исследование особенностей оператора Перрона-Фробениуса позволило установить соответствие между свойствами эргодических динамических систем и марковских стохастических процессов.

В 90-е годы спектральная задача была решена для сдвигов Бернулли хл+1 = Gxn mod 1, где G — произвольное целое положительное число [33−39], и пирамидального отображения (tent map) [40]. Был предложен метод нахождения полиномиальных собственных функций оператора Перрона-Фробениуса на основе построения производящих функций для этих полиномов и найдены выражения (в форме представления через гиперболические функции) для производящих функций операторов отображений с 3−6 линейными участками итеративной функции [41−42].

Что же дает знание спектральных свойств оператора Перрона-Фробениуса, его собственных функций и собственных чисел для исследования хаотической динамики, для радиофизики, в частности? При изучении как стохастических («истинно» случайных), так и хаотических процессов принципиальную (иногда даже говорят, «критическую») роль в радиофизике, а также в статистической физике играет анализ корреляционных функций процесса, оценка скорости убывания или «расцепления» корреляций, оценка динамики релаксационных процессов, установления равновесного состояния. Автокорреляционная функция преобразованием Фурье связана, как известно, с энергетическим спектром (Винера-Хинчина), который является характеристикой, нашедшей широкое применение в прикладных задачах. В литературе, кстати, отмечается, что спектрально-корреляционные свойства нерегулярных колебательных ф режимов динамических систем в настоящее время изучены явно недостаточно [43].

Общий вид корреляционной функции для процессов U, V, ассоциированных с реализацией случайного процесса X:

R (n) = (U{a)V[срп (а)))•-(U (a))(v[ср" (а))), (ВЗ) где усреднение в стационарном (асимптотическом) случае ведется по инвариантной плотности. Поскольку хп = <�рп (х0) = (р" ~1×0)), соотношение (ВЗ) можно представить в виде.

R (n) = (Щх)РГ (<�р (*))) — (Щх))(У (х)), ' (В4) где Pf (x) = P (p (x)f (x))/p (x) — модифицированный оператор Перрона-Фробениуса, р (х) — инвариантная плотность. В ряде работ выражение (В4) адаптировано для конкретных видов отображений и топологически сопряженных отображений [42,44].

Собственные числа оператора (В2) и модифицированного оператора совпадают, а собственные функции отличаются множителем р (х). Отсюда становится ясным, что ключевым моментом при расчете асимптотических, корреляционных свойств одномерных хаотических отображений является нахождение решения спектральной задачи для оператора' Перрона-Фробениуса исследуемого отображения. Особый интерес в этой связи вызывают те отображения и ассоциированные с ними линейные операторы, для которых данная задача может быть решена аналитически. Соответственно аналитически может быть решена и задача расчета скорости релаксационных процессов (установления инвариантного распределения) и спада корреляций. Именно такой класс операторов (и «порождающих» их отображений) изучается в настоящей диссертации.

В диссертационной работе впервые полностью решается задача аналитического нахождения полиномиальных собственных функций и собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса для целого класса кусочно-линейных отображений [45−55]. Речь идет, в частности, об отображениях, итерируемая кусочно-линейная функция которых имеет полные ветви (т.е. каждый участок монотонности отображается своей линейной функцией на весь интервал), тангенс угла наклона линейных 7 ветвей одинаков по модулю для всех участков монотонности, число же и чередование наклонов ветвей произвольно. В работе удалось унифицировать и обобщить процедуру решения спектральной задачи для данного класса отображений и отображений с неполными ветвями (отображений Реньи) с помощью введения производящей функции для собственных функций оператора. '.

Цели и задачи исследования. Основная цель работы — развитие аналитических методов решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса и аналитическое исследование на этой базе асимптотических свойств ряда моделей хаотической динамики. В этом контексте в работе решены задачи: а) развитие и практическая реализация аналитического метода нахождения собственных функций и собственных чисел оператора посредством нахождения производящей функции для кусочно-линейных хаотических отображений пилообразного типа (с упорядоченным чередованием ветвей отображения) и отображений с произвольным чередованием ветвейб) анализ эволюционных и вероятностных свойств отображения Реньи хл+1 = f3xn mod 1 с диапазоном изменения (нецелого) параметра 1 < j3 < 2- в) аналитический расчет (для рассмотренных классов одномерных хаотических отображений) автокорреляционных функций реализаций и корреляционных функций наблюдаемых, ассоциированных с отображениями, в частности, в форме степенных функций.

Научная новизна работы.

1. Предложен аналитический метод решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом наклона линейных составляющих, основанный на факторизации производящих функций для собственных функций оператора и методе степенных рядов.

2. Данным методом определены полиномиальные собственные функции и собственные числа оператора для следующих классов кусочно-линейных отображений: а) отображений с последовательным чередованием наклона полных линейных ветвей (собственные функции представляются линейными комбинациями полиномов Бернулли и Эйлера) — б) отображений с произвольным чередованием наклона полных линейных ветвей (получены рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномиальных собственных функций) — в) отображения Реньи при трех значениях параметра, обеспечивающих наличие трехступенчатой инвариантной плотности (получены представления для кусочно-полиномиальных собственных функций с коэффициентами полиномов, выражаемыми через рекуррентные соотношения).

3. Исследованы особенности динамики и вероятностных свойств малоизученного кусочно-линейного отображения Реньи, xn+l = fixn mod 1, для области значений параметра </3<2: а) показано, что существуют счетное множество значений параметра у3, при которых это отображение обладает инвариантной плотностью в форме кусочно-постоянных функций (ступенчатая инвариантная плотность), б) построен алгоритм вычисления значений параметра отображения, обеспечивающих существование инвариантной плотности с заданным числом ступенекв) для остальных значений параметра отображения, образующих континуум, показано, что соответствующая инвариантная плотность представима в виде бесконечной суммы характеристических функций вложенных отрезков.

4. Получены выражения для автокорреляционных функций реализаций дискретных хаотических процессов, задаваемых исследуемыми в диссертации отображениями, а также корреляционных функций наблюдаемых, в частности, в форме степенных функций точек хаотической траектории (посредством выявления результатов многократного действия оператора Перрона-Фробениуса (модифицированного оператора Перрона-Фробениуса) на соответствующие функции независимой переменной и интегрирования этих результатов по инвариантной плотности).

Научная и прикладная значимость. В диссертации развит аналитический метод исследования спектральных свойств несамосопряженного линейного оператора Перрона-Фробениуса, определяющих и объясняющих динамику дискретных хаотических моделей, в контексте «термодинамического формализма». Выявлен класс функциональных уравнений, допускающих аналитическое решение, позволяющее определить производящую функцию для полиномиальных собственных функций данного оператора. Эти результаты, как представляется, вносят вклад в развитие теории линейных несамосопряженных операторов, теории разностных уравнений, функционального анализа, современной теории динамических систем, методов моделирования хаотических процессов.

В работе сформулированы и апробированы конкретные алгоритмы аналитических расчетов автокорреляционных функций траекторий хаотических процессов на основе решения спектральных задач для операторов Перрона-Фробениуса соответствующей модели (отображения). Выявлены закономерности изменения эволюционных и вероятностных свойств отображения Реньи с изменением значения параметра, обусловливающим перестройку структуры его инвариантной плотности. В прикладном аспекте полученные результаты представляют интерес для решения задач статистической радиофизики, связанных с исследованием асимптотических спектрально-корреляционных свойств хаотических процессов, в том числе, аналитического исследования перемешивающих (релаксационных) свойств отображений на основе представления начальных распределений разложениями по собственным функциям оператора1- формирования алгоритмов хаотической передачи и обработки информации, построения конкретных моделей нейронной активности на базе отображения Реньи.

Далее, решение спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных отображений открывает путь и для аналитического решения аналогичных задач для топологически сопряженных отображений и многомерных отображений, образованных декартовым произведением одномерных отображений2. ф.

Личный вклад. Задачи исследования были сформулированы научными руководителями работы, которые оказывали консультативное содействие и осуществляли верификацию результатов в процессе.

1 Исследование процессов релаксации в дискретных динамических системах может быть проведено и на основе представления начального распределения формулой Эйлера-Маклорена с последующим частичным замещением в ней полиномов Бернулли полиномами Эйлера [56].

2 Собственные числа при сопряжении отображений обратимых дифференцируемых преобразований, являются инвариантами, а в выражениях для собственных функций соответствующим образом меняется лишь аргумент [41]. выполнения работы в направлении двух специальностей (радиофизика, математическое моделирование). Автору диссертации принадлежат аналитические результаты по модификации метода производящих функций для собственных функций оператора Перрона-Фробениуса, выяснению степени эффективности метода в зависимости от вида отображения, конкретные расчеты собственных функций и собственных чисел оператора, а также корреляционных характеристик рассмотренных моделей дискретных хаотических процессов.

Достоверность результатов диссертации. Все результаты, представленные в работе, получены сугубо аналитическими методами. В пользу их корректности свидетельствуют: совпадение аналитических решений, найденных различными способаминепосредственная проверка путем подстановки решений в уравнения, служащие определениями для изучаемых характеристик (например, в уравнения для инвариантных вероятностных плотностей, собственных чисел и собственных функций линейных операторов и т. д.) — возможность сведения общих результатов к «тестовым» задачамсопоставление с данными, полученными другими авторами иными методами или в рамках иных трактовок.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы представлялись на всероссийских школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» 2005 и 2006 гг., международных конференциях SPIE 2005 и 2007 гг., на научных семинарах, проводившихся на физическом и механико-математическом факультетах Саратовского госуниверситета и в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники РАН.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Аналитический метод решения спектральных задач для оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических отображений, основанный на факторизации производящих функций для собственных функций оператора и методе степенных рядов.

2. Собственные функции оператора Перрона-Фробениуса для пилообразных отображений, вне зависимости от количества линейных ветвей, представляются полиномами Бернулли, полиномами Эйлера или их комбинациями.

3. Базис инвариантного подпространства оператора Перрона-Фробениуса отображения Реньи в зависимости от значения параметра /? формируется из конечного (для счетного, всюду плотного множества значений /3) или бесконечного множества характеристических функций вложенных отрезков.

4. Значения автокорреляционных функций R{n) реализаций любых кусочно-линейных отображений с полными ветвями определяются величиной, равной п-й степени первого собственного числа ф соответствующего оператора Перрона-Фробениуса.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ: 4 статьи, включая 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, и 7 публикаций в трудах всероссийских и международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитируемой литературы из 80 наименований и 4 приложений. Общий объем диссертации -128 страниц, она иллюстрируется 29 рисунками и содержит 2 таблицы.

3. Основные результаты проведенных исследований хаотического отображения Реньи заключаются в выявлении структуры инвариантной плотности для значений параметра 1 < (3 < 2. Выявлено подмножество значений параметра, обеспечивающих существование кусочно-постоянной инвариантной плотности с конечным числом ступенек. Предложен алгоритм нахождения значений параметра, соответствующих заданному количеству ступенек. Точки скачков на графике инвариантной плотности генерируются самим отображением при начальном значении х0 = 1.

Разработана модификация метода производящей функции применительно к решению спектральной задачи для ОПФ отображения Реньи (как отображения с одной неполной ветвью) в случаях отображений с двухступенчатой (тестовый пример) и трехступенчатой инвариантной плотностями (при соответствующих значениях параметра).

4. Продемонстрировано применение оригинальных решений спектральной задачи для ОПФ рассмотренных кусочно,-линейных отображений при расчете автокорреляционных функций хаотических траекторий и наблюдаемых, соотнесенных с точками траекторий. Показано, каким образом прогресс в аналитических расчетах корреляционных функций, характеризующих процессы эволюции в дискретных динамических системах, связан с представлением независимой переменной и наблюдаемых в виде разложения по собственным функциям оператора Перрона-Фробениуса (соотносимого с отображениями с равномерным инвариантным распределением) или одноименного модифицированного оператора (для отображений с инвариантным распределением, отличным от равномерного).

Заключение

.

Обобщая результаты проведенного исследования по главам, можно сделать следующие выводы: ,.

1. При операторном описании одномерных отображений их нелинейные свойства исследуются посредством линейного оператора Перрона-Фробениуса. Основная задача исследования оператора — задача определения его собственных функций и собственных чисел успешно решается предложенным в работе методом, основанным на введении и факторизации производящей функции для собственных функций ОПФ и методе степенных рядов, что в комплексе позволяет найти собственные функции либо в явном виде, либо через рекуррентные соотношения для коэффициентов полиномов, определяющих структуру собственных функций.

2. Посредством разработанного метода удалось впервые определить t структуру полиномиальных собственных функций и нуль-пространства ОПФ кусочно-линейных отображений достаточно общего вида, представляющих композицию полных линейных ветвей, характеризуемых одинаковым модулем производной и произвольным чередованием знака производной. Возможность использования приема факторизации производящей функции позволяет найти универсальный набор рекуррентно вычисляемых коэффициентов, на основе которых и конструируются собственные полиномиальные функции. Выяснено, что в случае отсутствии симметрии отображения относительно середины отрезка определения: а) нуль-пространство ОПФ не содержит полиномиальные функцииб) при наличии кратных собственных чисел не существует четных (по старшей степени) полиномиальных собственных функций. Рассмотренный класс отображений включает в себя и отображения с регулярным чередованием ветвей, причем производящие функции в этом случае представляется комбинацией производящих функций для полиномов Бернулли и Эйлера.