Исследование проблемы автокорреляции (первого порядка) случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона, а также графичес

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет Кафедра аналитической экономики и эконометрики КУРСОВОЙ ПРОЕКТ По теме: Исследование проблемы автокорреляции (первого порядка) случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона, а также графических методов Студентки 3 курса А. В. Пашкевич дневного отделения «Международный менеджмент»

Минск, 2013

• Введение
• 1. Теоретическое и статистическое обоснование модели
• 1.1 Теоретическое описание модели
• 1.2 Статистическое обоснование модели
• 2. Построение и анализ эконометрической модели
• 2.1 Статистическая адекватность и проверка модели на мультиколлинеарность
• 2.2 Исследование автокорреляции графическим методом
• 2.3 Исследование автокорреляции с помощью статистики Дарбина-Уотсона
• 2.4 Исследование автокорреляции с помощью теста Сведа-Эйзенхарта
• 2.5 Исследование модели с помощью теста Бреуша-Годфри и анализ гетероскедастичности
• 3. Корректировка автокорреляции случайных отклонений
• Заключение
• Приложение А
• Приложение Б
• Приложение В
• Приложение Г
• Приложение Д
• Введение
• Данный курсовой проект подразумевает под собой построение экономической модели и, в соответствии с темой, её исследование на автокорреляцию первого порядка и коррекцию на основании полученных данных.
• Понятие экономической модели, а именно модели множественной линейной регрессии, возникает тогда, когда мы говорим об воздействии нескольких экзогенных факторов (Х? 2) на эндогенную переменную. Под регрессией понимается функциональная зависимость между объясняющими переменными (Х) и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной которая строится с целью предсказания (прогнозирования) этого среднего значения при фиксированных значениях первых.
• Целью курсового проекта является выполнение эконометрического моделирования в соответствии с выбранной темой на основании выбранных данных.
• В качестве оцениваемых параметров я использовала оборот розничной торговли в текущих ценах под воздействием средней номинальной заработной платы, инвестиций в основной капитал и импорта товаров и услуг.
• Выборку производила по временным поквартальным данным с 2004 по 1ый квартал 2013 года. В качестве исследуемой страны я выбрала Россию.
• Соответствующие статистические данные представлены в приложении 1.
• Для анализа модели будет использоваться эконометрический пакет Eviews. При помощи теста Сведа-Эйзенхарта, статистики Дарбина-Уотсона и графического метода будут проверены остатки построенной модели на наличие автокорреляции.
• Итак, первоначальная модель множественной линейной регрессии переменной Y будет основываться на следующих объясняющих переменных X₁, X₂, Х_3:
• X_1 — IMPORT, импорт товаров и услуг, млрд. руб
• X_2 — INVEST, инвестиции в основной капитал, млрд (трлн) руб
• Х_3 — ZP, средняя номинальная зарплата, руб/месяц
• Наша зависимая переменнаяY обозначает:
• Y — Rozn, оборот розничной торговли в текущих ценах, млрд. руб

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

— построение исходной модели

— оценка общего качества регрессии

— анализ нарушения предпосылок МНК

— выявление автокорреляции при помощи теста Сведа-Эйзенхарта

— выявление автокорреляции при помощи статистики Дарбина-Уотсона

— выявление автокорреляции при помощи графических методов

— корректировка модели

1. Теоретическое и статистическое обоснование модели

1.1 Теоретическое описание модели Практически любой экономический показатель ощущает на себе влияние нескольких других факторов. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике в виде четкой эконометрической интерпретации ее параметров. В рамках нашей темы, мы будем говорить об множественной линейной регрессии. Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид:

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров — b₀, b₁, b₂, b_m. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). [1, стр.91−100]

Существует ряд предпосылок относительно случайного отклонения, при выполнении которых по МНК получаются наилучшие результаты.

Предпосылки МНК (условия Гаусса? Маркова):

1. Математическое ожидание случайного отклонения равно нулю:

M () = 0 для всех наблюдений.

Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную. В каждом конкретном наблюдении случайный член может быть либо положительным, либо отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения.

2. Дисперсия случайных отклонений постоянна:

D () = D () = для любых наблюдений i и j.

Здесь мы говорим о гомоскедастичности отклонений модели (в случае соблюдения предпосылки) или о гетероскедастичности отклонения модели

3. Случайные отклонения и являются независимыми друг от друга для i? j. Выполнимость данной предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями. Другими словами, величина и определенный знак любого случайного отклонения не должны быть причинами величины и знака любого другого отклонения. Поэтому, если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции.

4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных. Обычно это условие выполняется автоматически при условии, что объясняющие переменные не являются случайными в данной модели. Следует отметить, что выполнимость данной предпосылки не столь критична для эконометрических моделей.

5. Модель является линейной относительно параметров.

Рассмотрим подробнее автокорреляцию случайных отклонений как нарушение предпосылки МНК.

Автокорреляция — это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.

Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. Автокорреляция может быть также следствием ошибочной спецификации эконометрической модели. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами имеющими различную природу:

1) наличие ошибок измерения в значениях результативного признака;

2) модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;

3) модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель;

4) неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, изменить переменные, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков. 1, с. 228]

Обнаружить автокорреляцию в модели можно различными способами:

1.Графический метод;

2.Метод рядов Сведа-Эйзенхарта;

3.Критерий Дарбина-Уотсона;

4.Тест Бреуша-Годфри;

5.Графики автокорреляционных функций.

1.2 Статистическое обоснование модели

Итак, как уже говорилось ранее, модель множественной линейной регрессии будет содержать следующие переменные:

X_1 — IMPORT, импорт товаров и услуг, млрд. руб

X₂ — INVEST, инвестиции в основной капитал, млрд (трлн) руб

Х₃ — ZP, средняя номинальная зарплата, руб/месяц

Y — Rozn, оборот розничной торговли в текущих ценах, млрд. руб

Оборот розничной торговли — стоимость товаров, проданных населению за наличный расчет для личного потребления или использования в домашнем хозяйстве. В оборот розничной торговли не включается стоимость товаров, отпущенных из розничной торговой сети юридическим лицам (в том числе организациям социальной сферы, спецпотребителям и т. п.) и индивидуальным предпринимателям, и оборот общественного питания.

Этот показатель формируется под влиянием множества факторов. Главным из них является спрос потребителей, который в свою очередь зависит от изменения доходов населения (показатель ZP). Мы предполагаем, что при увеличении доходов населения соответственно будет наблюдаться и увеличение оборота розничной торговли.

Объем товарооборота должен обосновываться, с одной стороны, спросом, который необходимо прогнозировать, а с другой стороны — должен формироваться с учетом критериев выгодности, так как от него зависят финансовое состояние предприятия и работников.

Поэтому я предполагаю, что инвестиции в основной капитал (показатель INVEST) сыграют положительную роль в создании и воспроизводстве основных средств (новое строительство, расширение, приобретение оборудования и т. д.), а это позволит улучшить качество и объем выпускаемой продукции, что приведет к увеличению оборота розничной торговли.

Я считаю, что влияние импорта товаров и услуг (показатель IMPORT) будет оказывать положительный эффект на оборот розничной торговли, так как с увеличением импорта увеличивается и персональный спрос на предлагаемые товары и услуги.

Итак, на основе данных по России в период с первого квартала 2004 года по первый квартал 2013 года, представленных в Приложении А, мы получаем следующие расчеты в программе Eviews 5 (рис. 1.1):

Рисунок 1.1 — Расчеты модели

Примечание — Источник: собственная разработка.

По этим данным строим регрессионную модель и анализируем её впоследствии:

ROZN = 33.23 + 3.83 IMPORT + 0.13 INVEST + 0.17 ZP

автокорреляция регрессия гетероскедастичность

2. Построение и анализ эконометрической модели

2.1 Статистическая адекватность и проверка модели на мультиколлинеарность

Задача состоит в оценке параметров множественной линейной регрессии, а также проверке как индивидуальной статистической значимости коэффициентов, так и общего качества модели.

1. Гипотеза о статистической значимости коэффициента детерминации.

Для характеристики общего качества модели регрессии вводится величина, называемая коэффициент детерминации, равный в нашем случае R² = 0.996 602. Эта величина показывает, какую долю общей вариации эндогенной переменной Rozn объясняет построенная модель. Иными словами, модель объясняет до 99% правильности модели, а 1% составляют ошибки.

Анализ происходит на основе F-статистики, для этого выдвигаются две гипотезы:

Н₀: R²= 0 [статистически незначим]

Н₁: R²? 0 [статистически значим]

Вначале определяем наблюдаемую точку:

F_н = (R²/m) / (1- R²/ n-m-1) = 3226.198

Затем сравниваем её с критической: F_0.05;3;33 = 2.92. Мы видим, что F_н> F_кр. Эти результаты говорят о том, что мы принимаем гипотезу Н₁ о значимости коэффициента.

Однако R² увеличивается при введении в модель экзогенной переменной, даже если последняя не коррелирует с переменной Rozn (это показывает коэффициент при ней). Следовательно, необходимо проверить на значимость коэффициенты при объясняющих переменных.

2. Гипотеза о статистической значимости коэффициентов.

Анализ происходит на основе Т-статистики, для этого выдвигаются две гипотезы:

Н₀: b_i = 0

Н₁: b_i? 0

Наши наблюдаемые параметры:

Наша критическая точка высчитывается по таблице распределения Стьюдента:

t _0.025;33= 2.042.

Она больше, чем наблюдаемые t-статистики, следовательно мы принимаем гипотезу Н₁ о том, что коэффициенты являются статистически значимыми, а значит, переменные IMPORT, INVEST и ZP влияют на Rozn .

3. Проверка модели на мультиколлинеарность.

Cуществуют некоторые признаки наличия мультиколлинеарности в модели:

1. Коэффициент детерминации R² высок, все объясняющие переменные в модели значимы, однако коэффициент «с» имеет низкую t-статистику (0.83).

2. Анализ коэффициента корреляции

Таблица 1

Чем ближе коэффициент к |1|, тем теснее линейная связь. При величине коэффициента корреляции менее 0,3 связь оценивается как слабая, от 0,31 до 0,5 — умеренная, от 0,51 до 0,7 — значительная, от 0,71 до 0,9 — тесная, 0,91 и выше — очень тесная. Как мы видим, связь между переменными тесная.

Один из методов выявления — это метод инфляционных факторов VIF. Вычисляется по формуле:

где R^2 — коэффициент детерминации вспомогательной модели.

Для этого строятся вспомогательные модели регрессии для каждой экзогенной переменной на остальные (см. Приложение В) Итак, мы рассчитали, что:

VIF (IMPORT) = 4.77

VIF (INVEST) = 3.24

VIF (ZP) = 5.06

Отсюда можно заключить, что мультиколлинеарность в модели почти не определяется, так как по разным источникам можно утверждать о её присутствии в модели при VIF >5 или при VIF >10.

2.2 Исследование автокорреляции графическим методом

Этот метод подразумевает под собой анализ корреляционного поле для переменных в момент времени t и t (-2). Для этого необходимо взять переменную RESID, отражающую отклонения модели, и ёё же с лагом -2 (см. Приложение Б).

На риснке 2.1. изображена данная зависимость:

Рисунок 2.1 — корреляционное поле

Источник: собственная разработка

Точки распределились следующим образом:

1 четверть — 11

2 четверть — 8

3 четверть — 12

4 четверть — 8.

По этим данным нельзя сделать точный вывод о наличии автокорреляции, так как данные распределены равномерно, но есть вероятность положительной автокорреляции из-за немного большего количества точек в 1ой и 3ей четвертях корреляционного поля.

2.3 Исследование автокорреляции с помощью статистики Дарбина-Уотсона

Данная статистика выявляет автокорреляцию первого порядка. Для этого выдвигаются две гипотезы:

Н₀: автокорреляции остатков нет

Н₁: автокорреляция остатков есть

Выводы осуществляются по следующей схеме.

Если DW < d, то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW > 4 — d, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков,

При d< DW < 4 — d, гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков принимается.

Если d < DW < d или 4 — d < DW < 4 — d, то гипотеза об отсутствии автокорреляции не может быть ни принята, ни отклонена.

Согласно данным, полученным в Eviews, наблюдаемая точка DW = 2.188 630

Затем, опираясь на данные, что количество объясняющих переменных в уравнении регрессии m=3, a объем выборки n=37, находим критические точки по таблице распределения Дарбина-Уотсона:

d= 1.307, d=1.655

Согласно полученным данным, нарисуем следующую схему:

Рис. 1

Следовательно, автокорреляции остатков первого порядка в модели не обнаружено.

2.4 Исследование автокорреляции с помощью теста Сведа-Эйзенхарта

Этот метод основан на определении знаков отклонений RESID (см. Приложение Б).

На примере нашей модели:

1"+", 1"-«, 7"+», 1"-«, 2"+», 2"-«, 1"+», 3"-«, 3"+», 1"-«, 1"+», 3"-«, 1"+», 1"-«, 1"+», 1"-«, 1"+», 3"-«, 2"+», 1"-" при 37 наблюдениях.

Рядом называется непрерывная последовательность одинаковых знаков, то есть количество рядов в данной модели k=20.

«Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция»

По таблице критических значений количества рядов при n наблюдениях определяем нижнее k₁ = 13 и верхнее k₂ = 26. Наша переменная k = 20 находится в промежутке k₁ < k < k_2, что говорит об отсутствии автокорреляции или о её слабом проявлении.

2.5 Исследование модели с помощью теста Бреуша-Годфри и анализ гетероскедастичности

Так как с помощью тестов, предусмотренных в рамках моей темы автокорреляция обнаружена не была, я рассмотрела коррелограмму остатков модели:

Рисунок 2.2 — Коррелограммы временных рядов

Источник: собственная разработка

Здесь мы видим, что в модели присутствует автокорреляция четвертого порядка.

Подтвердим ее с помощью теста Бреуша-Годфри.

Тест предполагает построение вспомогательной модели регрессии, остатков исходной модели на все её экзогенные переменные и лаги остатков по четвертый порядок включительно (к=4).

Выдвигаем следующие гипотезы:

Н₀: автокорреляции остатков нет

Н₁: автокорреляция остатков есть

Согласно расчетам, приведенным в приложении 4, R²_всп = 0.437 081.

Рассчитываем по формуле BG (4) = (37−4)*0.437 081 = 14.423 673 и сравниваем с ч²(4) = 11.14. Наблюдаемая точка попадает в промежуток гипотезы Н_1, следовательно, мы подтверждаем присутствие в модели автокорреляции четвертого порядка.

Проведем анализ гетероскедастичности с помощью теста Вайта, который выявляет любую её форму. В тесте строится вспомогательная регрессия квадратов остатков исходной модели на все её экзогенные переменные и их квадраты (см. Приложение Д).

Выдвигаются две гипотезы:

Н₀: гомоскедастичность

Н₁: гетероскедастичность

Далее расчеты производятся по формуле: W_h = n*R²_всп = 9.44 и сравниваются с показателем ч²(k) = 14.45. На основе полученных данных можно определить, что W_h < ч²(k), а значит, мы принимаем гипотезу Н₀ об отсутствии гетероскедастичности в модели, так как в модели с временными рядами она встречается довольно редко.

3. Корректировка автокорреляции случайных отклонений

Чтобы избавиться от автокорреляции 4-го порядка в данной модели:

ROZN = 33.22 575 891 + 3.832 811 814*IMPORT + 0.1 331 377 079*INVEST + 0.1 694 193 907*ZP, я решила использовать переменную ROZN с лагом (-1) в качестве экзогенной и построить регрессионную модель:

ROZN = 40.90 793 344 + 3.795 118 177*IMPORT + 0.1 820 442 964*INVEST + 0.1 364 985 929*ZP + 0.1 407 374 593*ROZN (-1)

Однако, согласно коррелограмме остатков, изображенной на рисунке 3.1, корректировка не прошла успешно. По-прежнему сохраняется автокорреляция 4ого порядка.

Рисунок 3.1 — коррелограмма остатков после первой корректировки

Источник: собственная разработка

Следовательно, я решила прибегнуть к другому способу: изменения спецификации модели, что должно привести к сглаживанию тренда.

Уравнение принимает следующую форму:

ROZN/ROZN (-1) = 0.1 097 837 715 + 0.7 334 928 698*IMPORT/IMPORT (-1) + 0.5 134 863 316*INVEST/INVEST (-1) + 0.2 579 609 857*ZP/ZP (-1) + 0.5 047 305 475*ROZN (-4)/ROZN (-5)

Однако на этот раз ситуация меняется: автокорреляция четвертого порядка сглаживается, но появляется на «пограничном» состоянии на пятом порядке (Рисунок 3.2)

Рисунок 3.2 — коррелограмма остатков после второй корректировки

Источник: собственная разработка

Так же снизились показатель R-squared = 0.958 833 и F-statistic = 157.2148, что говорит об ухудшении качества модели.

Так как после рада некоторых усовершенствований регрессии (изменения формы зависимости) автокорреляция по-прежнему присутствует, но уже на другом уровне, «то, возможно, это связано с внутренними свойствами ряда отклонений {е₁}» [1, с. 240]. Поэтому можно вернуться к нашему первоначальному уравнению.

Заключение

В рамках предусмотренной темы я построила регрессионную модель ROZN = 33.23 + 3.83 IMPORT + 0.13 INVEST + 0.17 ZP, в которой ROZN — оборот розничной торговли в текущих ценах, ZP — средняя номинальная заработная платы, INVEST — инвестиции в основной капитал и IMPORT — импорт товаров и услуг.

В данном уравнении наблюдается положительная зависимость между переменными. При увеличении импорта на 1 млрд $ оборот розничной торговли увеличивается на 3.83 млрд руб. При увеличении инвестиций — на 0.13 млрд руб. При увеличении средней номинальной заработной платы — на 0.17 млрд руб.

Статистическую значимость коэффициентов полученного уравнения проверим на основе t-статистики: t-статистики высока для всех показателей (t_стат>t_кр), что свидетельствует о значимости данных коэффициентов (t_кр=2.042).

Коэффициент детерминации высок (R²=0,996 602), что свидетельствует о высоком общем качестве уравнения регрессии. Это позволяет говорить, что изменение эндогенной переменной y объясняется экзогенными переменными x.

Затем я проверила эту модель на статистическую значимость и нарушения предпосылок МНК, а именно исследование проблемы автокорреляции. Была замечена минимальная мультиколлинеарность, однако исправлять её не было необходимости. Впоследствии были проведены тесты на обнаружение автокорреляции, и один из методов показал АК 4-го порядка, исправление которой впоследствии не привела к улучшению качества модели. Согласно тесту Вайта, модель гомоскедастична, а значит оценки МНК являются эффективными.

Из этого можно заключить, что построенная модель является корректной, с наличием небольших ошибок спецификации.

Список использованных источников

1. Бородич С. А. Вводный курс эконометрики: Учеб. пособие. — Мн.:БГУ, 2000. — 354 с.

2. Министерство финансов Российской Федерации / Инвестиции в основной капитал.

3. РБКQuote / Росстат: Оборот розничной торговли в 2012 г. вырос на 5,9% и составил 21,32 трлн руб.

4. Федеральная служба государственной статистики / Внешнеторговый оборот России.

5. Федеральная служба государственной статистики / Среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников в целом по экономике Российской Федерации в 2000;2013гг.

Приложение А

Описательная статистика временного ряда

Приложение Б

Отклонения модели с лагом -2

Приложение В

Вспомогательные модели регрессии для каждой экзогенной переменной

В1.1 — Вспомогательная модель регрессии для IMPORT

В1.2 — Вспомогательная модель регрессии для INVEST

В1.3 — Вспомогательная модель регрессии для ZP

Приложение Г

Проверка автокорреляции в модели при помощи теста Бреуша-Годфри

Приложение Д

Проверка модели на гетероскедастичность с помощью теста Вайта