Введение. 
Примеры канонических преобразований. 
Примеры канонических преобразований для доказательства теорем в теоретической механике

Пусть движение материальной системы с n степенями свободы описывается каноническими уравнениями.

где H = H (q1,q2,…, qn, p1, p1,…, pn, t) — функция Гамильтона. При анализе и интегрировании дифференциальных уравнений (1.1), как и всяких других, очень важен удачный выбор переменных. Например, если для задания движения материальной точки в центральном поле сил в плоскости Oxy выбраны полярные координаты r,?, то угол? будет циклической координатой и порядок системы дифференциальных уравнений движения может быть понижен на две единицы. А если рассматривать движение в декартовых координатах x, y, то циклической координаты не будет. Уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. Выбор обобщенных координат q1, q2,…, qn в этих уравнениях весьма произволен. Но нет общего метода упрощения уравнений Лагранжа за счет того или иного выбора обобщенных координат. При переходе от уравнений Лагранжа к каноническим уравнениям Га-мильтона дополнительно к координатам q1, q2,…, qn вводятся обобщенные импульсы p1, p2,…, pn и тем самым количество переменных удваивается. Величины q1, q2,…, qn, p1, p2,…, pn — координаты в 2n — мерном фазовом пространстве. При этом ни одна из совокупностей q1, q2,…, qn и p1, p2,…, pn не является более существенной, чем другая. В гамильтоновой динамике они равноправны. Для иллюстрации только что сказанного рассмотрим систему с одной степенью свободы (n = 1), описываемую уравнениями.

Сделаем в этих уравнениях замену переменных q = ?P, p = Q. Легко проверить, что в новых переменных Q, P движение описывается канониче-скими уравнениями вида.

Уравнения (1.3) по форме не отличаются от уравнений (1.2). Но в этих уравнениях Q — координата (в (1.2) это был импульс), P — импульс (а была координата, взятая с обратным знаком). Как видим при замене переменных первоначальный физический смысл названий «координата» и «импульс» потерялся. По отмеченной причине и по ряду других причин переменные q1, q2,…, qn и p1, p2,…, pn часто называют канонически сопряженными или просто со-пряженными переменными. Упомянутое удвоение числа независимых переменных расширяет мно-жество возможных преобразований, что является одним из преимуществ гамильтоновой механики перед лагранжевой. Равноправность переменных q1, q2,…, qn и p1, p2,…, pn дает большую свободу для выбора «координат» и «импульсов» .