Теплопроводность. 
Теплотехника

Температурное поле. Уравнение теплопроводности

Будем рассматривать только однородные и изотропные тела, т. е. такие тела, которые обладают одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передачи теплоты в твердом теле, температура тела будет изменяться по всему объему тела и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

t = f (x, y, z, ф), (9.1).

где: tтемпература тела;

x, y, zкоординаты точки;

ф — время.

Такое температурное поле называется нестационарным ?t/?i № 0, т. е. соответствует неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности Если температура тела функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

t = f (x, y, z), ?t/?i = 0 (9.2).

Уравнение двухмерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f (x, y, ф); ?t/?z = 0 (9.3).

для стационарного режима:

t = f (x, y), ?t/?z = 0; ?t/?i = 0 (9.4).

Уравнение одномерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t = f (x, ф); ?t/?y = ?t/?z = 0; ?t/?i № 0 (9.5).

для стационарного режима:

t = f (x); ?t/?y = ?t/?z = 0; ?t/?i = 0 (9.6).

Изотермической поверхностью называется поверхность тела с одинаковыми температурой.

Рассмотрим две изотермические поверхности (Рис. 9.1) с температурами t и t + ?t. Градиентом температуры называют предел отношения изменения температуры? tк расстоянию между изотермами по нормали? n, когда стремится к нулю:

gradt = |gradt| = lim[?t/?n]_?n>0 = ?t/?n (9.7).

Температурный градиент-это вектор, направленной по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормали n:

gradt = ?t/?n no, (9.7*).

где: n_o — единичный вектор.

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени называется тепловым потоком — Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади называют плотностью теплового потока — q = Q / F, [Вт/м²].

Для твердого тела уравнение теплопроводности подчиняется закону Фурье:

||Тепловой поток, передаваемая теплопроводностью,

||пропорциональна градиенту температуры и площади сечения,

||перпендикулярного направлению теплового потока.

Q = -л•F• ?t/?n, (9.8).

или.

q = -л • ?t/?n •n_o = -л•gradt, (9.9).

где: q — вектор плотности теплового потока;

л — коэффициент теплопроводности, [Вт/(м•К)].

Численное значение вектора плотности теплового потока равна:

q = -л• ?t/?n = -л•|gradt|, (9.10).

где:|gradt|- модуль вектора градиента температуры.

Коэффициент теплопроводности является физическим параметром вещества, характеризующим способность тела проводит теплоту, Она зависит от рода вещества, давления и температуры. Также на её величину влияет влажность вещества. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяются опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для трехмерного нестационарного температурного поля имеет вид (9.11).

где: а = л/(с· с) —коэффициент температуропроводности [м²/с], характеризует скорость изменения температуры.

Для стационарной задачи, дифференциальное уравнение имеет вид (9.12).