Поверхности второго порядка
Отсюда получим формулы преобразования координат: Подставим значения, и в уравнение поверхности: Классификация поверхностей второго порядка. Называют квадратичной формой. Матрицу. Раскрывая определитель, получим: Пары пересекающихся плоскостей. При получим систему уравнений: Пары параллельных плоскостей. Гиперболические параболоиды. X2 +5y2 +3z2 — 2xy + 2xz — 2yz -12x — 10 = 0. Пары совпадающих… Читать ещё >
Поверхности второго порядка (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению.
Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию .
Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.
называют квадратичной формой. Матрицу.
.
где, называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условию называют собственным вектором матрицы А, — собственным значением.
Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы, А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:
Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.
Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение поверхности:
3x2 +5y2 +3z2 — 2xy + 2xz — 2yz -12x — 10 = 0.
Решение.
Составим матрицу А:
.
Найдем собственные векторы:
Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т. е.
Раскрывая определитель, получим:
.
Отсюда находим: .
При получим систему уравнений:
Решив систему, получим первый собственный вектор. Единичный вектор собственного вектора будет: .
При получим.
При получим .
Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:
Отсюда получим формулы преобразования координат:
Подставим значения, и в уравнение поверхности:
или.
Перепишем уравнение в виде:
Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:
Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим.
Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.
Классификация поверхностей второго порядка.
Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:
.
В зависимости от величины и знаков коэффициентов, и могут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.
Таблица 1.
1. Эллипсоиды:
трехосный эллипсоид,.
мнимый эллипсоид.
точка.
2. Гиперболоиды:
1)однополостные гиперболоиды.
2)двуполостные гиперболоиды.
3. Конусы:
4. Параболоиды:
1) эллиптические параболоиды.
2) гиперболические параболоиды.
5. Цилиндры.
1) эллиптические цилиндры.
2) гиперболические цилиндры.
3) — параболические цилиндры.
6. Пары плоскостей:
1) — пары пересекающихся плоскостей.
2) — пары параллельных плоскостей.
3) — пары совпадающих плоскостей.