Степенной ряд.
Операции с числовыми рядами
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x? x0), то есть ряд вида. Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то. Где kнекоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех. Радиус сходимости может быть найден по формуле: Или на основе признака Даламбера: Где x0… Читать ещё >
Степенной ряд. Операции с числовыми рядами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x? x0), то есть ряд вида.
где x0? действительное число.
Интервал и радиус сходимости Рассмотрим функцию. Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.
Если интервал сходимости представляется в виде, где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле.
или на основе признака Даламбера:
Теорема Абеля
Теорема. Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится и притом абсолютно для всех .
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то.
где kнекоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из этого неравенства видно, что при x1 численные величины членов нашего ряда будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.
Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд сходится, а значит ряд сходится абсолютно.
Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х1, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.
Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .
Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле: