Вариационные задачи условной оптимизации

Исследованию вариационных задач посвящена обширная литература, однако порой остаются недостаточно ясными связь этих задач с задачами нелинейного программирования и отличие от них. Использованный выше подход к изложению задачи НП позволяет в предельно упрощенной и краткой форме наметить связь между конечномерными и вариационными задачами, показать, что схема получения условий оптимальности задачи НП и ее усредненной постановки может быть перенесена на вариационные задачи с учетом их особенностей, так как основу этой схемы составляет единый принцип, восходящий к Лагранжу^[1].

Постановка вариационной задачи. Задачи вариационного исчисления — это задачи об экстремуме функционалов. Функционал ставит в соответствие каждой вектор-функции y (t) из некоторого множества D допустимых решений в функциональном пространстве число. Таким образом, неизвестными в вариационных задачах или некоторыми из неизвестных являются функции. Аргумент у (?) совсем не обязательно имеет смысл времени, это может быть пространственная координата или, как в некоторых задачах, приведенных ниже, одна из составляющих у.

Множество допустимых решений D представляет собой подмножество пространства функций Е и отвечает общим требованием, наложенным на элементы Е (например, непрерывность, дифференцируемость, существование того или иного интеграла, …), ограничениям и связям между искомыми функциями, вытекающим из постановки конкретной задачи.

Наряду с функциональными составляющими вариационные задачи могут содержать и вектор переменных, не изменяющихся с изменением ?. Эти переменные называют искомыми параметрами.

Основные типы функционалов и связей

Примеры функционалов.

Для определенности будем считать, что для каждого из функционалов ищется максимум noy (t).

1. Интегральный:

2. Функционал, зависящий от значения у (0 в фиксированный момент те [О, Т]:

3. Минимаксный:

Каждый из этих функционалов ставит в соответствие функции у (t) число, если на множестве D значение функционала существует, т. е. в зависимости от типа функционала функция/₀ (у (t), t) для у е D интегрируема, ограничена при t = т или ограничена сверху для всех t е е [О, Г].

В том частном случае, когда в функционале 1_г функция /₀ равна -1, он соответствует минимизации продолжительности процесса. Задачи с таким критерием оптимальности называют задачами на быстродействие.

Заметим, что каждый из функционалов может быть преобразован в другой с введением тех или иных условий в задачу. Например, функционалы /₂ и 1₃ в предположении непрерывности входящих в них функций можно записать в интегральной форме с введением 8-функции:

В отличие от функционала 1₂ в 1₃ экстремум ищется не только по у (t) е е D, но и по параметру f е [О, Г], причем направления экстремумов по t* иу (0 могут быть разными (минимум либо максимум).

Связи и ограничения. Связи между составляющими вектор-функции у (t) и наложенные на них ограничения могут быть очень разнообразными. В этом отношении вариационные задачи существенно отличаются от задач НП. Приведем несколько примеров.

1. Конечное соотношение

2. Интегральное ограничение.

3. Интегральное ограничение с непрерывным параметром.

4. Дифференциальное уравнение.

Здесь и в следующем примере через х обозначены те составляющие искомой вектор-функции у (0, которые входят в левую и правую части уравнения, а через и (0 — те, которые вошли только в правую часть.

5. Интегральное уравнение.

6. Ограничения, наложенные при фиксированном значении аргумента:

где t₀ — фиксировано, t₀ ^е [О, Т].

7. Ограничения, наложенные при каждом значении t, автономно на каждую из составляющих искомого решения:

где границы изменения у (0 фиксированы. Множество, выделяемое ограничениями (4.12), будем обозначать через V_y(t).

Каждое из условий (4.6)—(4.11) может иметь форму неравенств, которые, как и в задаче НП, могут быть преобразованы в равенства введением добавочных переменных.

Как было сказано, в вариационных задачах могут кроме функций y (t) присутствовать искомые параметры, вектор z которых не зависит от t и подлежит выбору. Примером такого параметра является значение t* в функционале (4.5). Другой пример: в задачах управления кроме управляющих воздействий нужно бывает найти согласованные с ними конструктивные параметры обьекта, которые неизменны во времени.

юо.

• [1] Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Физ-матлит, 2005.