Фрактальная геометрия природы и анизотропия миров

Как известно, полученное нами выражение (11) используется в фрактальной геометрии природы Р. Мандельброта [10], [11] и др. в качестве одного из способов вычисления фрактальной размерности.

В сущности, фрактальная геометрия природы по Р. Мандельброту вводит в употребление объекты с дробной размерностью, о существовании которых говорили еще Г. Кантор по [8] и Ф. Хаусдорф [12].

В реальной действительности фрактальные объекты распространены гораздо шире по сравнению с объектами целочисленной размерности — одномерными сплошными непрерывными линиями, двумерными поверхностными фигурами и трёхмерными объёмными телами. Границы раздела двух фаз (береговые линии), дендриты в кристаллографии, «липкие пальцы» в технологических процессах смачивания, образование пористых тел и порошковых материалов, крона деревьев и морские волны — это лишь несколько типичных примеров из мира фрактальных объектов. На практике фрактальная размерность определяется из соотношения параметров объектов различной размерности [10], [11].

Для иллюстрации этого утверждения приведём здесь несколько экспериментальных примеров из таблиц 14.1 и 14.2 на стр.234−237 [11]:

Таблица 1.

А наглядной иллюстрацией всех перечисленных и других многочисленных процессов, характеризующихся фрактальной размерностью, можно использовать так называемые «липкие пальцы» — типичные результаты, описанные в монографии [11] по вытеснению нефти водой в пористых средах, представленные на фотоснимках рис.4-а, рис.4-б и рис. 4-в (рис. 4.15 на стр. 65 по [11]), отображающих возрастающее заполнение водой пористого тела.

Рис.4-а Рис. 4-б Рис.4-в

Действительно, проследим по — Мандельброту: [10], придерживаясь его символики, за вычислением размерности подобия для некоторого куба Лебега из соотношения:

(14).

Где — масштабный множитель по условию задачи.

Положим в нашем случае:

— число покрытий куба Лебега размером ,.

— элемент масштабной единицы,.

— размерность нашего куба Лебега,.

— размер масштабной единицы.

Тогда по условию, то есть, что после логарифмирования: приводит к выражению:

. (15).

В случае единичного куба Лебега, то есть при: , что даёт непосредственно:

. (16).

Таким образом, мы можем применять фрактальные размерности для процессов изменения размерности куба Лебега. Действительно, процесс образования линии из точки протекает при изменении размерности от 0 до 1, процесс образования поверхности из линии протекает при изменении размерности от 1 до 2, а процесс образования объёмного тела из поверхности протекает при изменении размерности от 2 до 3. Другими словами, все те многочисленные примеры в таблицах монографии [11] Е. Федера, из которых мы выборочно взяли всего несколько случаев, являются фиксированными, то есть мгновенно остановленными процессами.

Таким образом, на основании нашего экскурса в историю изучения размерности приходится признать, что в топологии отсутствует строгое определение понятия размерности, за которое иные авторы принимают формулировку способа нахождения величины этой размерности, метод её вычисления (Лебег, Урысон и др.). Так как мы выяснили в работе [1], что и строгого логического определения категорий в силу их предельности невозможно дать, то в этом свете понятна и невозможность логического определения размерности категории… Действительно, невозможно строго логически определить атрибут категории, которая сама тоже не определена строго логически.