Порядок элемента группы

Определение и примеры

В мультипликативной группе Q* любая натуральная степень двойки отлична от единицы, т. е. 2^п Ф 1 при любом натуральном показателе п. В этом случае говорят, что элемент 2 имеет бесконечный порядок. В этой же группе (-1)² = 1. В этом случае говорят, что элемент -1 имеет порядок 2. Дадим общее определение.

Определение 1.7. Пусть дана мультипликативная группа G с единицей ей ае G. Если а^п Ф е для любого натурального показателя п, то будем говорить, что элемент, а имеет бесконечный порядок, и писать |а| = °° (читается: порядок элемента а бесконечен). Если же существует натуральное число т, такое что а^т = е, то наименьшее натуральное число п, такое что а^п = е, будем называть порядком элемента а и писать | а — п (читается: порядок элемента а равен п).

В аддитивной группе считаем |а| = °°Vne N па ф О и | а | = п п — наименьшее натуральное число, такое что па = 0.

Если в группе G всякий неединичный элемент имеет бесконечный порядок, то говорят, что G — группа без кручения. Если же в группе G всякий элемент имеет конечный порядок, то группу G называют периодической. Если в группе G имеются элементы конечного и бесконечного порядков, то ее называют смешанной группой.

Если | a | = то все степени элемента а можно изобразить целочисленными точками числовой прямой, здесь «кручения» нет (рис. 1.3).

Если же, например, | а | = 6, то степени элемента а повторяются с периодом 6, наблюдаем «кручение» (рис. 1.4).

Рассмотрим примеры.

• 1. Аддитивная группа целых чисел Z является группой без кручения.
• 2. Ясно, что в конечной группе порядок всякого элемента конечен.
• 3. Мультипликативная группа комплексных корней всех степеней из единицы бесконечна, а всякий ее элемент имеет конечный порядок, т. е. это пример бесконечной периодической группы.
• 4. Найдем порядок подстановки а = (135) (24) в симметрической группе подстановок S₅. Терпеливо находим степени элемента а, пока не получим единицу группы (тождественную подстановку):

Следовательно, | а | =6.