Базис и ранг системы векторов
Теорема 1.2. Линейно независимая система векторов в пространстве Rn является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы равно п.? Понятие базиса распространяется и на пространство R", которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность //-мерных векторов. Максимально независимой подсистемой системы векторов (1.I8) называется частичный набор векторов этой… Читать ещё >
Базис и ранг системы векторов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим систему векторов (1.18) 
Максимально независимой подсистемой системы векторов (1.I8) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям:
- 1) векторы этого набора линейно независимы;
- 2) любой вектор системы (1.18) линейно выражается через векторы этого набора.
Справедлива теорема, утверждающая, что все максимально независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов. Максимально независимая подсистема системы векторов (1.18) называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа к се векторов, то она может иметь несколько базисов.
В силу теоремы 1.1 всякая система векторов пространства Rn, содержащая более п векторов, линейно зависима.
Понятие базиса распространяется и на пространство R" , которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность //-мерных векторов.
Определение 14. Система векторов называется базисом пространства R" , если:
- 1) векторы этой системы линейно независимы;
- 2) всякий вектор из Rп линейно выражается через векторы данной системы.
Справедлива основная теорема о базисе пространства Rnt которую мы приводим без доказательства.
Теорема 1.2. Линейно независимая система векторов в пространстве Rn является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы равно п. ?