Базис и ранг системы векторов

Рассмотрим систему векторов (1.18)

Максимально независимой подсистемой системы векторов (1.I8) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям:

• 1) векторы этого набора линейно независимы;
• 2) любой вектор системы (1.18) линейно выражается через векторы этого набора.

Справедлива теорема, утверждающая, что все максимально независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов. Максимально независимая подсистема системы векторов (1.18) называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно, что если ранг системы векторов меньше числа к се векторов, то она может иметь несколько базисов.

В силу теоремы 1.1 всякая система векторов пространства Rⁿ, содержащая более п векторов, линейно зависима.

Понятие базиса распространяется и на пространство R" , которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность //-мерных векторов.

Определение 14. Система векторов называется базисом пространства R" , если:

• 1) векторы этой системы линейно независимы;
• 2) всякий вектор из R^п линейно выражается через векторы данной системы.

Справедлива основная теорема о базисе пространства Rⁿ_t которую мы приводим без доказательства.

Теорема 1.2. Линейно независимая система векторов в пространстве Rⁿ является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы равно п. ?